Pelo interior de uma tubulação de PVC de 2 " e 60 m de comprimento, circula um fluido com viscosidade de 9,8.10^{-6} \mathrm{Kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}, densidade relativa de 0,85 e vazão mássica de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}. Determine o fator de atrito desse escoamento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o fator de atrito do escoamento em uma tubulação de PVC. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\;D (diâmetro interno): 2'' (do enunciado).
\;\mu (viscosidade dinâmica): \;9,8\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}) (dado).
\;\rho_{\text{rel}} (densidade relativa): \;0,85 (dado).
\;\dot m (vazão mássica): \;5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{min} (dado).
Comprimento 60\\ \mathrm{m} foi dado, mas não é necessário para calcular apenas o fator de atrito (serve para queda de carga depois).
Observações que vou usar sem perguntar: vou assumir densidade da água \;1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m^3} para obter a densidade do fluido, e vou usar o diâmetro interno igual a 2''=2\cdot 0,0254\\ \mathrm{m}=0,0508\\ \mathrm{m}. Para a rugosidade absoluta interna do PVC vou adotar um valor típico \epsilon = 0,0015\\ \mathrm{mm}=1{,}5\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m} (é um valor comum para PVC liso).
A tarefa concreta: calcular o fator de atrito adimensional f do escoamento na tubulação.

Passo 2

Converter unidades e calcular grandeszas básicas (faço passo a passo para você reproduzir na prova).
Converter massa por tempo para \mathrm{kg/s}:
\dot m = 5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{min} = \frac{5}{60}\\ \mathrm{kg/s} = 0{,}083333\\ \mathrm{kg/s}.
Calcular a densidade do fluido a partir da densidade relativa (usei \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á):
\rho = 0{,}85\cdot 1000\\ \mathrm{kg/m^3} = 850\\ \mathrm{kg/m^3}.
Área da seção transversal da tubulação (cilíndrica): A = \dfrac{\pi D^2}{4}. Com D=0{,}0508\\ \mathrm{m},
A = \frac{\pi (0{,}0508)^2}{4} \approx 2{,}0259\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica Q a partir da vazão mássica: Q=\dfrac{\dot m}{\rho},
Q = \frac{0{,}083333}{850}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 9{,}8039\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
Velocidade média do escoamento V = \dfrac{Q}{A}:
V = \frac{9{,}8039\cdot 10^{-5}}{2{,}0259\cdot 10^{-3}}\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}04838\\ \mathrm{m/s}.
Comentário rápido: a velocidade ficou bem baixa (cerca de 0{,}05\\ \mathrm{m/s}), o que é plausível para baixas vazões.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e entender regime de escoamento (isso determina qual fórmula usar para f).
Definição do número de Reynolds: \; \mathrm{Re} = \dfrac{\rho V D}{\mu}. Aqui:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Calculo:
\mathrm{Re} = \frac{850\cdot 0{,}04838\cdot 0{,}0508}{9{,}8\cdot 10^{-6}}.
Faço a multiplicação do numerador:
850\cdot 0{,}04838 \approx 41{,}1247,
41{,}1247\cdot 0{,}0508 \approx 2{,}08914.
Então
\mathrm{Re} \approx \frac{2{,}08914}{9{,}8\cdot 10^{-6}} \approx 2{,}13\cdot 10^{5}.
Interpretação do número de Reynolds:
  • Se \mathrm{Re} < 2300 → escoamento laminar.
  • Se \mathrm{Re} > 4000 → escoamento turbulento.
  • Entre 2300 e 4000 → região de transição.
Aqui \mathrm{Re}\approx 2,13\cdot 10^{5}, claramente turbulento. Logo não usamos a fórmula laminar f=64/\mathrm{Re}.

Passo 4

Escolher a expressão para o fator de atrito f. Explico as opções e por que escolho uma delas:
  • Para escoamento laminar usa-se \;f=\dfrac{64}{\mathrm{Re}} (fácil e exata para tubos circulares).
  • Para escoamento turbulento e tubos rugosos a equação exata (implícita) é a equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\;\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right),
que é implícita em f (dá trabalho resolver à mão).
  • Existem fórmulas explícitas aproximadas muito usadas na prática. Uma delas é a fórmula de Swamee–Jain (prática e suficientemente precisa para engenharia):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Como estamos em regime turbulento e quero um método explícito e rápido aplicável na prova sem iterar, escolho a fórmula de Swamee–Jain. Ela é derivada como aproximação da Colebrook e costuma ser bem precisa para o intervalo de interesse.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Swamee–Jain com os valores numéricos (mostrando cada termo).
Rugosidade relativa:
\frac{\epsilon}{D} = \frac{1{,}5\cdot 10^{-6}}{0{,}0508} \approx 2{,}95\cdot 10^{-5}.
Termo \dfrac{\epsilon}{3{,}7D}:
\frac{\epsilon}{3{,}7D} = \frac{1{,}5\cdot 10^{-6}}{3{,}7\cdot 0{,}0508} \approx 7{,}985\cdot 10^{-6}.
Termo \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}: primeiro calcule \mathrm{Re}^{0{,}9}.
\mathrm{Re}^{0{,}9} \approx (2{,}13\cdot 10^{5})^{0{,}9} \approx 6{,}263\cdot 10^{4}.
Então
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{6{,}263\cdot 10^{4}} \approx 9{,}16\cdot 10^{-5}.
Somando os termos dentro do logaritmo:
\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 7{,}985\cdot 10^{-6} + 9{,}16\cdot 10^{-5} \approx 1{,}009\cdot 10^{-4}.
Agora o logaritmo decimal:
\log_{10}\!\left(1{,}009\cdot 10^{-4}\right) \approx -3{,}9961.
Elevar ao quadrado e aplicar o coeficiente:
\left[\log_{10}\!\left(\cdots\right)\right]^2 \approx (-3{,}9961)^2 \approx 15{,}969.
Finalmente a fórmula de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{15{,}969} \approx 0{,}01566.
Portanto o fator de atrito adimensional é aproximadamente 0{,}01566.

Passo 6

Breve verificação e intuição: usar a fórmula de Blasius (válida para tubos suaves e Re até ~105–106) dá um valor parecido — isso é um bom sinal de consistência.
Fórmula de Blasius: f\approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}. Com \mathrm{Re}\approx 2{,}13\cdot 10^{5},
f_{\text{Blasius}} \approx 0{,}3164\cdot (2{,}13\cdot 10^{5})^{-0{,}25} \approx 0{,}0147,
um pouco menor, mas da mesma ordem (0{,}0147 vs 0{,}0157). A diferença é porque Swamee–Jain inclui efeito da rugosidade (ainda que pequena); portanto o resultado \approx 0{,}0157 é coerente.

Resposta

f \approx 0{,}01566

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