Por uma tubulação lisa de 2^{\prime \prime} de diâmetro escoa um determinado fluido de viscosidade cinemática igual a 3,5 \times 10^{-6} \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s}. A perda de carga por fricção em 10 metros de tubulação é 3,85 \mathrm{~m}. Determine a vazão e o tipo de regime desse escoamento. Resp.: \mathrm{Q}=8,92 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}; Turbulento

Passo 1

O enunciado pede para determinar a vazão volumétrica e o tipo de regime de escoamento dado que temos uma tubulação lisa de diâmetro 2^{\prime\prime} por onde escoa um fluido com viscosidade cinemática \nu = 3{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. A perda de carga por fricção ao longo de L=10\\ \mathrm{m} é h_f = 3{,}85\\ \mathrm{m}. Lista de dados fornecidos:
D = 2^{\prime\prime} = 0{,}0508\\ \mathrm{m},
\nu = 3{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},
L = 10\\ \mathrm{m},
h_f = 3{,}85\\ \mathrm{m}.
O que se pede: a vazão Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e o tipo de regime (laminar/transicional/turbulento).

Passo 2

Para relacionar perda de carga e velocidade usaremos a equação de Darcy–Weisbach. Vou explicar isso com calma:
A equação de Darcy–Weisbach dá a perda de carga por fricção em termos do fator de atrito f, do comprimento L, do diâmetro D e da velocidade média V:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (em metros),
  • f é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e rugosidade),
  • L é o comprimento da tubulação (em metros),
  • D é o diâmetro interno (em metros),
  • V é a velocidade média do fluido (em m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
O fator de atrito em tubos lisos, para regimes turbulentos moderados a altos, pode ser estimado pela fórmula empírica de Blasius (válida aproximadamente para 4\times10^3 \lesssim Re \lesssim 10^5):
f = 0{,}3164\,Re^{-0{,}25},
onde o número de Reynolds é
Re = \frac{V D}{\nu}.
Vou usar essa fórmula porque a tubulação é lisa e porque ela dá uma forma explícita que nos permite eliminar f e resolver diretamente para V. Depois verificamos se o Re obtido está na faixa de validade da Blasius; se estiver, a escolha foi consistente.

Passo 3

Substituo f (Blasius) na equação de Darcy–Weisbach e expresso tudo em função de V. Começo por escrever:
h_f = \big(0{,}3164\,Re^{-0{,}25}\big)\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Como Re = \dfrac{V D}{\nu}, temos Re^{-0{,}25} = \big(\dfrac{V D}{\nu}\big)^{-0{,}25} = V^{-0{,}25} D^{-0{,}25} \nu^{0{,}25}. Substituindo isso:
h_f = 0{,}3164\,\big(V^{-0{,}25} D^{-0{,}25} \nu^{0{,}25}\big)\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Agrupando potências de V e de D:
h_f = 0{,}3164\,\nu^{0{,}25}\,L\,D^{-1{,}25}\,\frac{V^{1{,}75}}{2g}.
Agora isolo V^{1{,}75}:
V^{1{,}75} = \frac{h_f\,2g}{0{,}3164\,\nu^{0{,}25}\,L\,D^{-1{,}25}}.
Portanto a velocidade média V é:
V = \left(\frac{h_f\,2g}{0{,}3164\,\nu^{0{,}25}\,L\,D^{-1{,}25}}\right)^{\!1/1{,}75}.
Essa expressão nos permite calcular V diretamente a partir dos dados do problema.

Passo 4

Agora calculo numericamente passo a passo, sem pular etapas.
  1. Calculo de \nu^{0{,}25}:
\nu^{0{,}25} = (3{,}5\times 10^{-6})^{0{,}25} \approx 0{,}043243.
  1. Calculo de D^{-1{,}25}:
D^{-1{,}25} = (0{,}0508)^{-1{,}25} \approx 41{,}354.
  1. Calculo do numerador h_f\,2g:
h_f\,2g = 3{,}85 \times 2 \times 9{,}81 = 75{,}537\\ (\text{unidade: m}^2/\mathrm{s}^2).
  1. Calculo do denominador 0{,}3164\,\nu^{0{,}25}\,L\,D^{-1{,}25}:
0{,}3164 \times 0{,}043243 \times 10 \times 41{,}354 \approx 5{,}6536.
  1. Divido numerador pelo denominador para obter V^{1{,}75}:
V^{1{,}75} = \frac{75{,}537}{5{,}6536} \approx 13{,}360.
  1. Faço a potência inversa para obter V:
V = 13{,}360^{1/1{,}75} = 13{,}360^{0{,}5714286} \approx 4{,}402\\ \mathrm{m/s}.
  1. Calculo da vazão Q usando Q = V A e A = \dfrac{\pi D^2}{4}:
A = \frac{\pi (0{,}0508)^2}{4} \approx 0{,}0020267\\ \mathrm{m}^2,
Q = 4{,}402 \times 0{,}0020267 \approx 8{,}92\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  1. Verificação do número de Reynolds para classificar o regime:
Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{4{,}402 \times 0{,}0508}{3{,}5\times 10^{-6}} \approx 6{,}38\times 10^{4}.
Como Re \approx 6{,}4\times 10^{4}, estamos bem acima de 4000, ou seja, em regime turbulento. Além disso, Re está dentro da faixa de validade aproximada da fórmula de Blasius ( 4\times 10^3 a 10^5), então a utilização da Blasius foi consistente.

Passo 5

Resumo final e interpretação: a vazão calculada é aproximadamente 8{,}92\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O escoamento é turbulento, pois Re\approx 6{,}4\times 10^{4}.

Resposta

Q = 8{,}92\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
Turbulento

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