Óleo combustível ( v=0,028 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ) é transportado por 50 m em uma tubulação de aço de diâmetro interno igual a 3^{\prime \prime}, na qual existem 10 junções, 2 curvas de 90^{\circ} e 2 registros globo. Calcular a perda de carga total, sabendo-se que a vazão do transporte é de 18 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Utilize o método do coeficiente de resistência.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto, para ficar bem claro.
Dados fornecidos (escrevo tudo em TeX como você pediu):
\nu = 0,028\\ \mathrm{cm^{2}/s}
L = 50\\ \mathrm{m}
D = 3'' = 3\cdot0,0254\\ \mathrm{m}
\text{Número de junções} = 10úçõ
\text{Número de curvas de }90^\circ = 2ú
\text{Número de registros globo} = 2ú
Q = 18\\ \mathrm{L/s} = 0,018\\ \mathrm{m^{3}/s}
O que é pedido:
  • Calcular a perda de carga total ao longo da tubulação usando o método do coeficiente de resistência (ou seja, somar perda por atrito na tubulação reta + perdas localizadas por peças usando coeficientes K).
Observação importante (vou explicitar): o enunciado não deu a rugosidade absoluta \varepsilon do aço nem os coeficientes K das peças. Vou assumir valores típicos para tubulação de aço (eu explico e justifico as escolhas quando for usá-las). Se sua prova dá valores diferentes, basta substituir e repetir os cálculos.

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: padronizar unidades e achar a velocidade média V.
Converter viscosidade cinemática para \mathrm{m^2/s}:
\nu = 0,028\\ \mathrm{cm^2/s} = 0,028\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s} = 2,8\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Diâmetro em metros:
D = 3\cdot0,0254 = 0,0762\\ \mathrm{m}.
Área da seção:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo:
A = \frac{\pi (0,0762)^{2}}{4} \approx 0,004559\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,018}{0,004559} \approx 3,95\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a velocidade média V é o fluxo volumétrico dividido pela área; ela é a referência tanto para o número de Reynolds quanto para a energia cinética específica \left(\dfrac{V^{2}}{2g}\right) que aparece nas perdas.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento com o número de Reynolds \mathrm{Re}:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{3,9489\cdot 0,0762}{2,8\times10^{-6}} \approx 1,07\times10^{5}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Logo precisamos de um fator de atrito f adequado para escoamento turbulento (por exemplo Colebrook ou fórmula explícita de Swamee–Jain). Vou usar a fórmula explícita para agilizar.

Passo 4

Escolha da rugosidade e método de f. Como é tubulação de aço, adoto a rugosidade absoluta típica:
\varepsilon = 0,045\\ \mathrm{mm} = 4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Justificativa: \varepsilon=0,045\\ \mathrm{mm} é valor tabulado comum para aço comercial. Se na sua prova houver outro valor, troque.
Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (prática para provas, pois evita iteração da Colebrook). A fórmula é:
f = 0,25\Bigg[\log_{10}\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\Bigg]^{-2}.
Calcule a rugosidade relativa e o termo de Reynolds:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{4{,}5\times10^{-5}}{0,0762}\approx 5,91\times10^{-4}.
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} \approx 1,596\times10^{-4},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 1,706\times10^{-4}.
Somando e aplicando a fórmula:
f \approx 0,25\big[\log_{10}(3,302\times10^{-4})\big]^{-2}\approx 0,0206.
Pequena explicação didática: o fator f mede a resistência por atrito na parede; em escoamento turbulento ele depende tanto da rugosidade relativa \varepsilon/D quanto de \mathrm{Re}. A fórmula de Swamee–Jain fornece um f explícito que aproxima a solução implícita de Colebrook.

Passo 5

Cálculo da perda de carga por atrito ao longo da tubulação reta (perda majoritária). Fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f} = f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}.
Calcule os termos intermediários:
\frac{L}{D} = \frac{50}{0,0762} \approx 656{,}17,
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(3{,}9489)^{2}}{2\cdot9{,}81} \approx 0,7951\\ \mathrm{m}.
Logo:
h_{f} = 0,02064\cdot656{,}17\cdot0,7951 \approx 10{,}76\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso significa que, só por atrito distribuído ao longo dos 50\\ \mathrm{m}, perdemos cerca de 10{,}8\\ \mathrm{m} de carga.

Passo 6

Perdas localizadas (método dos coeficientes K). Explico o método e escolho valores típicos:
  • Método: cada peça (junção, curva, válvula) provoca uma perda de carga \Delta h = K\,\dfrac{V^{2}}{2g}. Soma-se todos os K para obter a perda localizada total: h_{\text{local}} = \left(\sum K\right)\dfrac{V^{2}}{2g}.
  • Escolhas típicas de K (assumidas aqui; justificativa: valores tabulados para tubulações de aço e uso comum em exercícios):
    • junções (10 unidades): assumo K_{\text{junção}}=0{,}20çã cada (ex.: acoplamentos/flanges moderados),
    • curvas de 90^\circ (2 unidades): assumo K_{\text{curva}}=0{,}20 cada (curva de raio razoável),
    • registros globo (2 unidades): assumo K_{\text{globo}}=10 cada (registro globo tem perda elevada mesmo aberto).
Esses números são típicos em tabelas de hidráulica; se a sua prova der outros K, use-os.
Calcular K total:
\sum K = 10\cdot0{,}20 + 2\cdot0{,}20 + 2\cdot10 = 2{,}0 + 0{,}4 + 20 = 22{,}4.
Então a perda localizada total:
h_{\text{local}} = \left(\sum K\right)\frac{V^{2}}{2g} = 22{,}4\cdot0{,}7951 \approx 17{,}81\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: as perdas localizadas por válvulas e junções podem facilmente superar a perda por atrito em trechos curtos; por isso é crucial somar as duas contribuições.

Passo 7

Perda de carga total: somando perda por atrito e perdas localizadas,
h_{\text{total}} = h_{f} + h_{\text{local}} = 10{,}76 + 17{,}81 \approx 28{,}57\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
h_{\text{total}} \approx 28{,}6\\ \mathrm{m}.
Pequena motivação: deu certo! A perda de carga total fica na ordem de dezenas de metros — isso é comum quando há válvulas globo no percurso.

Resposta

28{,}6\\ \mathrm{m}

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