O International Standard Book Number (ISBN-10) é um identificador único para livros e consiste em um vetor (d1, d2, ldots, d10) in F11^10 tal que
1 cdot d1+2 cdot d2+3 cdot d3+cdots+9 cdot d9+10 cdot d10=0 in F11
Mostre que (0,8,3,7,0,9,9,0,2,6) não é um ISBN-10 válido. Supondo que o erro ocorreu devido à troca de dois dígitos adjacentes, encontre o ISBN-10 correto.

Passo 1

O enunciado trata do ISBN-10, que é um vetor l(d1,d2,dots,d10r)inF11^10 satisfazendo
1,d1+2,d2+cdots+10,d10=0em F11
Aqui temos a sequência dada
(0,8,3,7,0,9,9,0,2,6)
e precisamos mostrar que ela não satisfaz o critério e, supondo que o erro foi trocar dois dígitos adjacentes, achar a correção.

Passo 2

Vamos calcular o somatório pesado em Z e depois reduzir mod 11.
S ;=;1cdot 0 + 2cdot 8 + 3cdot 3 + 4cdot 7 + 5cdot 0 + 6cdot 9 + 7cdot 9 + 8cdot 0 + 9cdot 2 +10cdot 6 = 248
Reduzindo em F11:
248 equiv 248 - 22cdot 11 = 248 - 242 = 6 neq 0
Logo esse vetor não é um ISBN-10 válido.

Passo 3

Se trocamos os dígitos nas posições i e i+1, só muda a parte
i,di + (i+1),di+1 longrightarrow i,di+1 + (i+1),di
O acréscimo ao somatório é
De<a = l(i,di+1 + (i+1),dir) - l(i,di + (i+1),di+1r) = di - di+1
Então, se Sequiv 6, o novo somatório S' satisfaz
S' equiv S + (di-di+1) equiv 0 pmod11 ;Longrightarrow; di - di+1 equiv -6 equiv 5 pmod11

Passo 4

Basta achar qual par adjacente (di,di+1) tem
di-di+1=5
Examinando
(0,8),,(8,3),,(3,7),dots,(2,6),
vemos que só em (8,3), isto é, nas posições i=2 e i+1=3, vale
8-3 = 5

Passo 5

Trocando d2=8 com d3=3 obtemos o vetor
(0,3,8,7,0,9,9,0,2,6)
Uma checagem rápida dá
1cdot 0 + 2cdot 3 + 3cdot 8 + 4cdot 7 + 5cdot 0 + 6cdot 9 + 7cdot 9 + 8cdot 0 + 9cdot 2 +10cdot 6 = 253,
e
253 equiv 0 pmod11
Logo é um ISBN-10 válido.

Resposta

(0,3,8,7,0,9,9,0,2,6)

Exercícios relacionados