O International Standard Book Number (ISBN-10) é um identificador único para livros e consiste em um vetor tal que
Dê um exemplo de um ISBN-10 para o qual a troca de dois dígitos adjacentes é detectável mas não é corrigível.
Passo 1
O enunciado trata do código ISBN-10, que é um código de comprimento 10 em F11 cujos dígitos l(d1,d2,dots,d10r) satisfazem
Esse código detecta qualquer transposição de dois dígitos adjacentes (desde que não sejam iguais), mas não tem capacidade de correção de erro de tipo “troca de posição”. Vamos dar um exemplo concreto.
Passo 2
Considere o ISBN
(d1,d2,dots,d10) =(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),
onde usamos 10 para representar o dígito “X”. Este vetor corresponde ao ISBN-10 “123456789X”.
Passo 3
Verifiquemos que ele é válido, isto é, que
sumi=1^10 i,di =sumk=1^10 kcdot k =sumk=1^10 k^2 =385equiv0pmod11,
pois 385=35cdot11. Logo “123456789X” é um ISBN-10 legítimo.
Passo 4
Agora troquemos dois dígitos adjacentes quaisquer — por exemplo, o segundo e o terceiro dígitos “2” e “3” — o que gera o vetor
(d1',d2',dots,d10') =(1,3,2,4,5,6,7,8,9,10),
isto é, o “ISBN” “132456789X”.
Passo 5
Calculemos o somatório de verificação para o vetor trocado:
sumi=1^10 i,di' =1cdot1+2cdot3+3cdot2+sumk=4^10kcdot k =1+6+6+ l(sumk=4^10k^2r)
Mas sumk=1^10k^2=385, e já tínhamos 1+2cdot2+3cdot3=1+4+9=14. Então
sumk=4^10k^2 =385-14=371,
e
1+6+6+371=384equiv10notequiv0pmod11
Portanto, a transposição 2 rightarrow 3 produz um vetor inválido, logo o erro é detectado.
Passo 6
No entanto, o ISBN-10 não dispõe de algoritmo para determinar qual foi a posição trocada: ele apenas verifica a congruência módulo 11 e não identifica nem corrige o par trocado. Assim, a transposição é detectável, mas não corrigível.
Resposta
Um exemplo é o ISBN-10123456789X
que, ao trocar os dígitos “2” e “3” (dando 132456789X), falha no critério de soma e portanto o erro é detectado, mas o código não corrige essa troca.