Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base [E = \left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}_{3}\right)) e queremos verificar se o conjunto , onde:
é também uma base. Para isso, precisamos verificar se os vetores (\vec{f}{1}, \vec{f}{2}, \vec{f}_{3}] são linearmente independentes e, consequentemente, formam uma base do espaço.
Passo 2
Vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores f1, f2, f3 . Como estamos trabalhando em um espaço tridimensional, cada vetor terá três componentes. Assim, a matriz fica:
A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Aqui, cada coluna representa um dos vetores f1, f2, f3 .
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Vamos calcular: