Sendo E=(e1, e2, e3) base, e
l f1=e1+e2+e3 f2=e1+e2 f3=e3
decida se f=(f1, f2, f3) é base.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base [E = \left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}_{3}\right)) e queremos verificar se o conjunto , onde:
é também uma base. Para isso, precisamos verificar se os vetores (\vec{f}{1}, \vec{f}{2}, \vec{f}_{3}] são linearmente independentes e, consequentemente, formam uma base do espaço.

Passo 2

Vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores f1, f2, f3 . Como estamos trabalhando em um espaço tridimensional, cada vetor terá três componentes. Assim, a matriz fica:
A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Aqui, cada coluna representa um dos vetores f1, f2, f3 .

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Vamos calcular:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 1 & 1 - 1 cdot 1 & 0 1 & 1 + 0 cdot 1 & 1 1 & 0
Simplificando:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 = 1(1) - 1(1) + 0 = 1 - 1 = 0

Resposta

Como o determinante da matriz A é zero, os vetores f1, f2, f3 são linearmente dependentes. Portanto, o conjunto f não é uma base.

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