E3. Um modelo de aeroplano é construído em escala 1 / 10 sendo testado num túnel de vento operando a uma pressão de 15 vezes a atmosférica. O aeroplano deverá voar a 460 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual velocidade deve ter o túnel de vento para operar com semelhança dinâmica entre o modelo e protótipo? Se a força de arrasto medida no modelo é 287 N qual será a força de arrasto no avião?

Passo 1

O enunciado pede dois resultados:
  • Qual velocidade deve ter o túnel de vento para que haja semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo.
  • Dada a força de arrasto medida no modelo, qual será a força de arrasto no avião (protótipo).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • razão de escala linear entre modelo e protótipo: 1/10. Ou seja, se L_{\text{m}} é a dimensão característica do modelo e L_{\text{p}} a do protótipo então L_{\text{m}}=\dfrac{1}{10}L_{\text{p}}.
  • pressão no túnel: 15 vezes a pressão atmosférica (ou seja, \rho_{\text{túnel}}=15\,\rho_{\text{atm}}ú, assumindo mesma temperatura e ar ideal).
  • velocidade desejada do avião (protótipo): 460\\ \mathrm{km/h}.
  • força de arrasto medida no modelo: 287\\ \mathrm{N}.
O que se precisa encontrar:
  1. U_{\text{m}}: velocidade do fluxo no túnel (velocidade do modelo).
  2. F_{\text{p}}: força de arrasto no protótipo (avião) correspondente à medição no modelo.

Passo 2

Conceito que vamos usar: número de Reynolds e semelhança dinâmica.
  • O número de Reynolds é a grandeza adimensional que controla a relação entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento. Sua definição é
\mathrm{Re}=\frac{\rho U L}{\mu},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido,
  • U é a velocidade característica do escoamento,
  • L é uma dimensão linear característica do corpo (ex.: corda ou envergadura característica),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
Para haver semelhança dinâmica entre modelo e protótipo (mesmo regime de escoamento) é necessário que os números de Reynolds correspondentes sejam iguais:
\mathrm{Re}_{\text{m}}=\mathrm{Re}_{\text{p}}.
Observações e pressupostos (importantes):
  • Assume-se que a temperatura do ar no túnel é aproximadamente a mesma da do ar ambiente, de modo que a viscosidade dinâmica \mu é praticamente a mesma nos dois casos (viscosidade do ar depende mais da temperatura do que da pressão).
  • Com ar ideal, a densidade é proporcional à pressão se a temperatura é mantida constante, então \rho_{\text{túnel}}=15\,\rho_{\text{atm}}ú.
  • Para forças de arrasto, sob semelhança dinâmica válida, o coeficiente de arrasto C_D é o mesmo para modelo e protótipo. A força de arrasto é dada por
F=\tfrac{1}{2}\,\rho\,U^{2}\,A\,C_D,
onde A é uma área de referência que escala como L^{2}.

Passo 3

Igualando os Reynolds de modelo e protótipo:
\mathrm{Re}_{\text{m}}=\mathrm{Re}_{\text{p}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\rho_{\text{túnel}}\,U_{\text{m}}\,L_{\text{m}}}{\mu}=\frac{\rho_{\text{atm}}\,U_{\text{p}}\,L_{\text{p}}}{\mu}.ú
Cancelando \mu e isolando U_{\text{m}}:
U_{\text{m}}=\frac{\rho_{\text{atm}}}{\rho_{\text{túnel}}}\;U_{\text{p}}\;\frac{L_{\text{p}}}{L_{\text{m}}}.ú
Substituindo as relações dadas:
  • escala linear L_{\text{p}}/L_{\text{m}}=10,
  • \rho_{\text{túnel}}=15\,\rho_{\text{atm}}ú então \dfrac{\rho_{\text{atm}}}{\rho_{\text{túnel}}}=\dfrac{1}{15}ú.
Logo
U_{\text{m}}=\frac{1}{15}\times 10 \times U_{\text{p}}=\frac{2}{3}\,U_{\text{p}}.

Passo 4

Converter a velocidade do protótipo para unidades do SI e calcular U_{\text{m}}.
Converter 460\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
U_{\text{p}}=\frac{460}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}=127{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Aplicando U_{\text{m}}=\dfrac{2}{3}U_{\text{p}}:
U_{\text{m}}=\frac{2}{3}\times127{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}=85{,}185185\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável:
U_{\text{m}}\approx85{,}19\\ \mathrm{m/s}\approx306{,}67\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Escalonamento da força de arrasto entre modelo e protótipo.
Como mencionado, sob semelhança dinâmica o coeficiente C_D é o mesmo para modelo e protótipo. Use a fórmula do arrasto para cada caso:
F_{\text{m}}=\tfrac{1}{2}\,\rho_{\text{túnel}}\,U_{\text{m}}^{2}\,A_{\text{m}}\,C_D, \qquad F_{\text{p}}=\tfrac{1}{2}\,\rho_{\text{atm}}\,U_{\text{p}}^{2}\,A_{\text{p}}\,C_D.ú
Fazendo a razão F_{\text{p}}/F_{\text{m}} e cancelando \tfrac{1}{2} e C_D:
\frac{F_{\text{p}}}{F_{\text{m}}}=\frac{\rho_{\text{atm}}}{\rho_{\text{túnel}}}\cdot\frac{U_{\text{p}}^{2}}{U_{\text{m}}^{2}}\cdot\frac{A_{\text{p}}}{A_{\text{m}}}.ú
Agora usar as escalas:
  • \dfrac{\rho_{\text{atm}}}{\rho_{\text{túnel}}}=\dfrac{1}{15}ú.
  • U_{\text{p}}/U_{\text{m}}=\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2}, então \dfrac{U_{\text{p}}^{2}}{U_{\text{m}}^{2}}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25.
  • áreas escalam com o quadrado da dimensão linear, então A_{\text{p}}/A_{\text{m}}=(L_{\text{p}}/L_{\text{m}})^{2}=10^{2}=100.
Portanto
\frac{F_{\text{p}}}{F_{\text{m}}}=\frac{1}{15}\times 2{,}25\times100=\frac{225}{15}=15.
Logo F_{\text{p}}=15\,F_{\text{m}}.

Passo 6

Calcular a força de arrasto no protótipo usando F_{\text{m}}=287\\ \mathrm{N}:
F_{\text{p}}=15\times287\\ \mathrm{N}=4305\\ \mathrm{N}.

Resposta

U_{\text{m}}\approx85{,}19\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx306{,}67\\ \mathrm{km/h})
F_{\text{p}}=4305\\ \mathrm{N}

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