E3. Um modelo de aeroplano é construído em escala
sendo testado num túnel de vento operando a uma pressão de 15 vezes a atmosférica. O aeroplano deverá voar a
. Qual velocidade deve ter o túnel de vento para operar com semelhança dinâmica entre o modelo e protótipo? Se a força de arrasto medida no modelo é 287 N qual será a força de arrasto no avião?
Passo 1
O enunciado pede dois resultados:
- Qual velocidade deve ter o túnel de vento para que haja semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo.
- Dada a força de arrasto medida no modelo, qual será a força de arrasto no avião (protótipo).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- razão de escala linear entre modelo e protótipo:
. Ou seja, se é a dimensão característica do modelo e a do protótipo então . - pressão no túnel:
vezes a pressão atmosférica (ou seja, , assumindo mesma temperatura e ar ideal). - velocidade desejada do avião (protótipo):
. - força de arrasto medida no modelo:
.
O que se precisa encontrar:
-
: velocidade do fluxo no túnel (velocidade do modelo). -
: força de arrasto no protótipo (avião) correspondente à medição no modelo.
Passo 2
Conceito que vamos usar: número de Reynolds e semelhança dinâmica.
- O número de Reynolds é a grandeza adimensional que controla a relação entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento. Sua definição é
onde:
-
é a densidade do fluido, -
é a velocidade característica do escoamento, -
é uma dimensão linear característica do corpo (ex.: corda ou envergadura característica), -
é a viscosidade dinâmica do fluido.
Para haver semelhança dinâmica entre modelo e protótipo (mesmo regime de escoamento) é necessário que os números de Reynolds correspondentes sejam iguais:
Observações e pressupostos (importantes):
- Assume-se que a temperatura do ar no túnel é aproximadamente a mesma da do ar ambiente, de modo que a viscosidade dinâmica
é praticamente a mesma nos dois casos (viscosidade do ar depende mais da temperatura do que da pressão). - Com ar ideal, a densidade é proporcional à pressão se a temperatura é mantida constante, então
. - Para forças de arrasto, sob semelhança dinâmica válida, o coeficiente de arrasto
é o mesmo para modelo e protótipo. A força de arrasto é dada por
onde
é uma área de referência que escala como
.
Passo 3
Igualando os Reynolds de modelo e protótipo:
Cancelando
e isolando
:
Substituindo as relações dadas:
- escala linear
, -
então .
Logo
Passo 4
Converter a velocidade do protótipo para unidades do SI e calcular
.
Converter
para
:
Aplicando
:
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Escalonamento da força de arrasto entre modelo e protótipo.
Como mencionado, sob semelhança dinâmica o coeficiente
é o mesmo para modelo e protótipo. Use a fórmula do arrasto para cada caso:
Fazendo a razão
e cancelando
e
:
Agora usar as escalas:
-
. -
, então . - áreas escalam com o quadrado da dimensão linear, então
.
Portanto
Logo
.
Passo 6
Calcular a força de arrasto no protótipo usando
: