Use a substituição reversa para resolver cada um dos seguintes sistemas de equações:
x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5
3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=1
\begin{aligned} -x_{3}+2 x_{4} & =-1 \\\\ 4 x_{4} & =4 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando substituição reversa (back substitution). As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. O sistema dado é:
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} &= 5,\\[4pt] 3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} &= 1,\\[4pt] - x_{3}+2 x_{4} &= -1,\\[4pt] 4 x_{4} &= 4. \end{aligned}
O que se pede: encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.]

Passo 2

Explicando a ideia (rápido e prático): substituição reversa funciona quando o sistema está em forma triangular (ou seja, a última equação envolve apenas uma incógnita). Então resolvemos a última equação para a última incógnita, e vamos substituindo esse valor nas equações acima para achar as demais, uma a uma, subindo o sistema.
Começando pela última equação:
4 x_{4}=4.
Dividindo ambos os lados por 4:
x_{4}=1.

Passo 3

Agora usamos a terceira equação
- x_{3}+2 x_{4}=-1.
Substituímos x_{4}=1:
- x_{3}+2\cdot 1 = -1.
Calcule passo a passo:
- x_{3}+2 = -1,
subtraindo 2 de ambos os lados:
- x_{3} = -3,
multiplicando por -1:
x_{3}=3.

Passo 4

Agora a segunda equação
3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=1.
Substituímos x_{3}=3 e x_{4}=1:
3 x_{2}+3-2\cdot 1 = 1.
Calcule:
3 x_{2}+3-2 = 1,
3 x_{2}+1 = 1,
subtraindo 1 de ambos os lados:
3 x_{2} = 0,
dividindo por 3:
x_{2}=0.

Passo 5

Por fim, a primeira equação
x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5.
Substituímos x_{2}=0, x_{3}=3, x_{4}=1:
x_{1}+2\cdot 0 + 2\cdot 3 + 1 = 5.
Calcule:
x_{1} + 0 + 6 + 1 = 5,
x_{1} + 7 = 5,
subtraindo 7 de ambos os lados:
x_{1} = -2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para evitar erros de conta):
  • Primeira equação: -2 + 2\cdot 0 + 2\cdot 3 + 1 = -2 + 0 + 6 + 1 = 5. OK.
  • Segunda equação: 3\cdot 0 + 3 - 2\cdot 1 = 0 + 3 - 2 = 1. OK.
  • Terceira equação: -3 + 2\cdot 1 = -3 + 2 = -1. OK.
  • Quarta equação: 4\cdot 1 = 4. OK.
Tudo bate.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (motivo pelo qual fizemos assim):
  • Sempre identifique se o sistema já está triangular; se estiver, use substituição reversa: resolve-se do último para o primeiro.
  • Faça aritmética passo a passo (movimente termos para o outro lado antes de dividir).
  • Verifique substituindo no sistema original — isso costuma pegar erros bobos.
    Força aí — já era a parte difícil, agora é só decorar o procedimento e treinar em mais exemplos!

Resposta

x_{1}=-2
x_{2}=0
x_{3}=3
x_{4}=1

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