- Interpretação geométrica do produto vetorial.
Explique o significado geométrico das expressões abaixo e o que elas indicam sobre os vetores
e
.
Em sua resposta, comente sobre:
- a posição relativa dos vetores
- a área do paralelogramo formado por eles.
a)
Em sua resposta, comente sobre:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede que eu interprete geometricamente o significado dessa expressão. As perguntas que preciso responder são:
- Qual é a posição relativa dos vetores
e quando essa igualdade vale? - Qual é a área do paralelogramo formado por
e nesse caso?
Informações relevantes fornecidas:
- A única informação numérica/equacional é
(o produto vetorial é o vetor nulo).
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade geométrica fundamental do produto vetorial que usarei para interpretar a igualdade. Para dois vetores
e
em
vale:
onde:
-
é o comprimento (norma) do vetor , -
é o comprimento do vetor , -
é o ângulo (no intervalo ) entre e , -
é a magnitude do produto vetorial.
Essa fórmula diz, geometricamente, que a magnitude do produto vetorial é exatamente a área do paralelogramo construído sobree .
Também vale: a direção de
é perpendicular ao plano determinado por
e
(regra da mão direita), mas aqui o interesse principal será a magnitude.
Passo 3
Partindo da igualdade do enunciado
, tomo normas em ambos os lados e obtenho
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Portanto existem exatamente as seguintes possibilidades:
-
(ou seja, ); ou -
(ou seja, ); ou -
, o que implica ou .
As três situações têm interpretação geométrica simples e estão todas contidas sob a frase “os vetores são colineares”.
Passo 4
Interpretação da posição relativa dos vetores:
- Se
ou , um dos vetores é o vetor nulo; não há direção definida para ele, e qualquer paralelogramo com um lado nulo tem área zero. - Se
(isto é, ou ), então e estão na mesma reta passando pela origem — são colineares. Mais concretamente: -
significa que e são paralelos e apontam no mesmo sentido (ex.: com ); -
significa que são paralelos mas apontam em sentidos opostos (ex.: com ).
Em todos os casos não existe um “plano” com altura diferente de zero entre eles — geometricamente eles ficam sobre a mesma reta.
-
Exemplo rápido que dá para fazer na prova:
- Se
e , então é múltiplo escalar de e . - Em
(identificando o produto vetorial com o escalar perpendicular), para e tem-se (como escalar z). Se então os vetores são colineares.
Passo 5
Interpretação da área do paralelogramo:
- A área do paralelogramo com lados
e é (pela propriedade do passo 2). - Como
tem norma zero, a área do paralelogramo é zero:
Geometricamente isso significa que o paralelogramo colapsa: sua “altura” relativa é zero (pois
), então o paralelogramo é degenerado — vira um segmento colinear com os vetores (ou um ponto, se um dos vetores for nulo).
Passo 6
Como aplicar isso rapidamente numa prova (dica prática):
- Se der vetores numéricos, verifique se um é múltiplo escalar do outro (checar razões coordenada a coordenada) ou calcule o produto vetorial (em
) ou o determinante (em ). Se for zero, então conclui-se imediatamente que são colineares e que a área do paralelogramo é zero. - Se precisar justificar em palavras: dizer que
, igualar a zero e concluir ou que um vetor é nulo.
Passo 7
Resumo final e conclusão (em linguagem direta e curta, pronta para copiar na prova):
- A condição
significa que e são colineares: ou um dos vetores é nulo ou os dois são paralelos (mesmo sentido ou sentidos opostos). - O paralelogramo formado por
e tem área zero (paralelogramo degenerado).
Resposta
Os vetores são colineares: ou um é o vetor nulo ou
para algum escalar
(paralelos, mesmo ou sentidos opostos).
A área do paralelogramo formado por e
é
.
A área do paralelogramo formado por