1. Interpretação geométrica do produto vetorial.
Explique o significado geométrico das expressões abaixo e o que elas indicam sobre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
Em sua resposta, comente sobre:
  • a posição relativa dos vetores
  • a área do paralelogramo formado por eles.
a) \vec{u} \times \vec{v}=\overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} e pede que eu interprete geometricamente o significado dessa expressão. As perguntas que preciso responder são:
  • Qual é a posição relativa dos vetores \vec{u} e \vec{v} quando essa igualdade vale?
  • Qual é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} nesse caso?
Informações relevantes fornecidas:
  • A única informação numérica/equacional é \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} (o produto vetorial é o vetor nulo).

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade geométrica fundamental do produto vetorial que usarei para interpretar a igualdade. Para dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 vale:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde:
  • \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u},
  • \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor \vec{v},
  • \theta é o ângulo (no intervalo 0\le\theta\le\pi) entre \vec{u} e \vec{v},
  • \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a magnitude do produto vetorial.
    Essa fórmula diz, geometricamente, que a magnitude do produto vetorial é exatamente a área do paralelogramo construído sobre \vec{u} e \vec{v}.
Também vale: a direção de \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular ao plano determinado por \vec{u} e \vec{v} (regra da mão direita), mas aqui o interesse principal será a magnitude.

Passo 3

Partindo da igualdade do enunciado \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}, tomo normas em ambos os lados e obtenho
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=0.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta = 0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Portanto existem exatamente as seguintes possibilidades:
  • \|\vec{u}\|=0 (ou seja, \vec{u}=\overrightarrow{0}); ou
  • \|\vec{v}\|=0 (ou seja, \vec{v}=\overrightarrow{0}); ou
  • \sin\theta=0, o que implica \theta=0 ou \theta=\pi.
As três situações têm interpretação geométrica simples e estão todas contidas sob a frase “os vetores são colineares”.

Passo 4

Interpretação da posição relativa dos vetores:
  • Se \vec{u}=\overrightarrow{0} ou \vec{v}=\overrightarrow{0}, um dos vetores é o vetor nulo; não há direção definida para ele, e qualquer paralelogramo com um lado nulo tem área zero.
  • Se \sin\theta=0 (isto é, \theta=0 ou \theta=\pi), então \vec{u} e \vec{v} estão na mesma reta passando pela origem — são colineares. Mais concretamente:
    • \theta=0 significa que \vec{u} e \vec{v} são paralelos e apontam no mesmo sentido (ex.: \vec{v}=k\vec{u} com k>0);
    • \theta=\pi significa que são paralelos mas apontam em sentidos opostos (ex.: \vec{v}=k\vec{u} com k<0).
      Em todos os casos não existe um “plano” com altura diferente de zero entre eles — geometricamente eles ficam sobre a mesma reta.
Exemplo rápido que dá para fazer na prova:
  • Se \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=2\vec{u}=(2,4,6), então \vec{v} é múltiplo escalar de \vec{u} e \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Em \mathbb{R}^2 (identificando o produto vetorial com o escalar perpendicular), para \vec{u}=(a,b) e \vec{v}=(c,d) tem-se \vec{u}\times\vec{v}=ad-bc (como escalar z). Se ad-bc=0 então os vetores são colineares.

Passo 5

Interpretação da área do paralelogramo:
  • A área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v} é \|\vec{u}\times\vec{v}\| (pela propriedade do passo 2).
  • Como \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} tem norma zero, a área do paralelogramo é zero: \text{área}=\|\vec{u}\times\vec{v}\|=0.á
Geometricamente isso significa que o paralelogramo colapsa: sua “altura” relativa é zero (pois \|\vec{v}\|\sin\theta=0), então o paralelogramo é degenerado — vira um segmento colinear com os vetores (ou um ponto, se um dos vetores for nulo).

Passo 6

Como aplicar isso rapidamente numa prova (dica prática):
  • Se der vetores numéricos, verifique se um é múltiplo escalar do outro (checar razões coordenada a coordenada) ou calcule o produto vetorial (em \mathbb{R}^3) ou o determinante ad-bc (em \mathbb{R}^2). Se for zero, então conclui-se imediatamente que são colineares e que a área do paralelogramo é zero.
  • Se precisar justificar em palavras: dizer que \|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta, igualar a zero e concluir \theta\in\{0,\pi\} ou que um vetor é nulo.

Passo 7

Resumo final e conclusão (em linguagem direta e curta, pronta para copiar na prova):
  • A condição \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} significa que \vec{u} e \vec{v} são colineares: ou um dos vetores é nulo ou os dois são paralelos (mesmo sentido ou sentidos opostos).
  • O paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} tem área zero (paralelogramo degenerado).

Resposta

Os vetores são colineares: ou um é o vetor nulo ou \vec{v}=k\vec{u} para algum escalar k (paralelos, mesmo ou sentidos opostos).
A área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} é 0.

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