Interpretação de modelos de segundo grau
Tom abriu uma empresa de organização de eventos. O valor da empresa (em milhares de reais) t meses após a inauguração é modelado por
v(t)=4 t^2-24 t-28
Tom quer saber quando a empresa terá o menor valor de mercado.
Reescreva a função de uma forma diferente (fatorada ou canônica) de modo que a resposta apareça como um número na equação.
v(t)=square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função quadrática que representa o valor da empresa do Tom ao longo do tempo. A função é $ v(t) = 4t^{2} - 24t - 28 $. Nosso objetivo aqui é descobrir quando a empresa vai ter o menor valor de mercado. Para isso, vamos usar conceitos de funções do segundo grau, especificamente a forma canônica, que ajuda a identificar o ponto mínimo da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ v(t) $ na forma canônica. A forma canônica de uma função quadrática é dada por:
v(t)
Onde $ (h, k) $ é o vértice da parábola. O valor $ h $ vai nos dizer quando ocorre o mínimo valor da função.

Passo 3

Para transformar $ v(t) = 4t^{2} - 24t - 28 $ na forma canônica, vamos completar o quadrado. Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ t^{2} $:
v(t) = 4t^2 - 24t - 28
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos metade do coeficiente de $ t $, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
t^2
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da função:
v(t) = 4(t^2 - 6t) - 28
Simplificando:
t
(62)^2 = 9
v(t) = 4(t^2 - 6t + 9 - 9) - 28

Passo 4

Agora que temos a função na forma canônica $ v(t) = 4(t - 3)^{2} - 64 $, fica fácil identificar o vértice da parábola. O vértice é $ (h, k) = (3, -64) $. Isso significa que o valor mínimo da função ocorre quando $ t = 3 $ meses, e o valor mínimo é v(t) = 4(t - 3)^2 - 64 mil reais.

Passo 5

Então, reescrevendo a função de forma canônica com o valor numérico que representa quando a empresa tem o menor valor de mercado:
v(t) = 4(t - 3)^2 - 64

Resposta

A empresa terá o menor valor de mercado 3 meses após a inauguração, e a função reescrita na forma canônica fica:
v(t) = 4(t - 3)^2 - 64

Exercícios relacionados