Interpretação de modelos de segundo grau
Tom abriu uma empresa de organização de eventos. O valor da empresa (em milhares de reais)
meses após a inauguração é modelado por
Tom quer saber quando a empresa terá o menor valor de mercado.
Reescreva a função de uma forma diferente (fatorada ou canônica) de modo que a resposta apareça como um número na equação.
Tom abriu uma empresa de organização de eventos. O valor da empresa (em milhares de reais)
Reescreva a função de uma forma diferente (fatorada ou canônica) de modo que a resposta apareça como um número na equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função quadrática que representa o valor da empresa do Tom ao longo do tempo. A função é $ v(t) = 4t^{2} - 24t - 28 $. Nosso objetivo aqui é descobrir quando a empresa vai ter o menor valor de mercado. Para isso, vamos usar conceitos de funções do segundo grau, especificamente a forma canônica, que ajuda a identificar o ponto mínimo da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ v(t) $ na forma canônica. A forma canônica de uma função quadrática é dada por:
Onde $ (h, k) $ é o vértice da parábola. O valor $ h $ vai nos dizer quando ocorre o mínimo valor da função.
Passo 3
Para transformar $ v(t) = 4t^{2} - 24t - 28 $ na forma canônica, vamos completar o quadrado. Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ t^{2} $:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos metade do coeficiente de $ t $, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da função:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a função na forma canônica $ v(t) = 4(t - 3)^{2} - 64 $, fica fácil identificar o vértice da parábola. O vértice é $ (h, k) = (3, -64) $. Isso significa que o valor mínimo da função ocorre quando $ t = 3 $ meses, e o valor mínimo é
mil reais.
Passo 5
Então, reescrevendo a função de forma canônica com o valor numérico que representa quando a empresa tem o menor valor de mercado:
Resposta
A empresa terá o menor valor de mercado 3 meses após a inauguração, e a função reescrita na forma canônica fica: