Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma.
sumn=0^infty 1e^n

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos a convergência da série infinita sumn=0^infty 1e^n. Este é um tópico de séries numéricas, em particular vamos reconhecer se é uma série geométrica, usar o critério de convergência para séries geométricas e, caso convirja, aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Observamos que o termo geral é an = 1e^n. Podemos reescrever an = a,r^n com a = 1 (primeiro termo, para n=0) e r = 1e (razão da progressão geométrica).

Passo 3

Para séries geométricas, o critério de convergência diz que ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos |r| = l|tfrac1er| = tfrac1e<1, logo a série converge.

Passo 4

Como converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=0^infty a,r^n = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = tfrac1e, obtemos
sumn=0^infty 1e^n = 11 - tfrac1e = 1tfrace-1e = ee-1

Resposta

A série converge e sua soma é dfracee-1.

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