Seja um campo unidimensional de velocidade
de densidade
a) Encontre a expressão para
, sendo que
. (R:
b) O campo de velocidade é uniforme (constante) ou cisalhado (se sim, em qual direção?)? Justifique a sua resposta.
c) O fluido é compressível ou incompressível? Justifique a sua resposta.
a) Encontre a expressão para
b) O campo de velocidade é uniforme (constante) ou cisalhado (se sim, em qual direção?)? Justifique a sua resposta.
c) O fluido é compressível ou incompressível? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um fluxo unidimensional com velocidade
e densidade
.
Matéria envolvida: equação da continuidade (conservação de massa), conceito de campo uniforme vs. cisalhado (shear) e compressibilidade.
O que vamos usar:
Matéria envolvida: equação da continuidade (conservação de massa), conceito de campo uniforme vs. cisalhado (shear) e compressibilidade.
O que vamos usar:
- A equação da continuidade em 1D:
. - Definição de uniforme (∂u/∂x=0) ou cisalhado (∂u/∂x≠0).
- Critério de incompressibilidade (∇·V=0) ou densidade variável.
Passo 2
Começando pela parte (a), aplicamos a equação da continuidade em 1D:
Como
não depende de
, temos
e
Logo
Agora,
implica
Então
Passo 3
Integrando em
, obtemos
onde
é “constante” de integração (só depende de
).
Usando a condição de contorno , vem
Usando a condição de contorno
Logo a resposta da parte (a) é
Passo 4
Para (b), um campo é uniforme se
. Aqui acabamos de achar
Então não é uniforme, e sim cisalhado ao longo da direção
(é o gradiente de velocidade
que causa o “shear”).
Passo 5
Para (c), um fluido é incompressível se
. Em 1D isso dá
, o que não vale aqui. Além disso, a densidade
varia no tempo (
), então claramente é um fluido compressível.
Resposta
a)
b) É um campo cisalhado na direção (pois
).
c) O fluido é compressível (pois e
varia com
).
b) É um campo cisalhado na direção
c) O fluido é compressível (pois