Seja um campo unidimensional de velocidade V(x, t)=u imath de densidade rho= rho0[2-cos (omega t)]:
a) Encontre a expressão para V(x, t), sendo que V(0, t)=U imath. (R: -omega sen(omega t)2-cos (omega t) x+U)
b) O campo de velocidade é uniforme (constante) ou cisalhado (se sim, em qual direção?)? Justifique a sua resposta.
c) O fluido é compressível ou incompressível? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um fluxo unidimensional com velocidade vec V(x,t)=u(x,t),hatimath e densidade rho(t)=rho0[2-cos(omega t)].
Matéria envolvida: equação da continuidade (conservação de massa), conceito de campo uniforme vs. cisalhado (shear) e compressibilidade.
O que vamos usar:
  1. A equação da continuidade em 1D: partial rhopartial t + partial (rho,u)partial x=0.
  2. Definição de uniforme (∂u/∂x=0) ou cisalhado (∂u/∂x≠0).
  3. Critério de incompressibilidade (∇·V=0) ou densidade variável.

Passo 2

Começando pela parte (a), aplicamos a equação da continuidade em 1D:
partial rhopartial t + partial (rho,u)partial x=0
Como rho=rho(t) não depende de x, temos partialrho/partial x=0 e
partial (rho,u)partial x =rho,partial upartial x
Logo
partial rhopartial t + rho,partial upartial x=0 Longrightarrow partial upartial x =-1rho,partial rhopartial t
Agora, rho(t)=rho0[2-cos(omega t)] implica
partial rhopartial t =rho0,omega,sin(omega t)
Então
partial upartial x =-rho0,omega,sin(omega t) rho0[2-cos(omega t)] =-omega,sin(omega t)2-cos(omega t)

Passo 3

Integrando em x, obtemos
u(x,t) =integral partial upartial x,dx =-omega,sin(omega t)2-cos(omega t),x + f(t),
onde f(t) é “constante” de integração (só depende de t).
Usando a condição de contorno u(0,t)=U, vem
f(t)=U
Logo a resposta da parte (a) é
u(x,t) =-omega,sin(omega t)2-cos(omega t),x + U Longrightarrow vec V(x,t)=l(-omegasin(omega t)2-cos(omega t),x + Ur)hatimath

Passo 4

Para (b), um campo é uniforme se partial u/partial x=0. Aqui acabamos de achar
partial upartial x =-omega,sin(omega t)2-cos(omega t) neq 0 (em >=ral)
Então não é uniforme, e sim cisalhado ao longo da direção x (é o gradiente de velocidade partial u/partial x que causa o “shear”).

Passo 5

Para (c), um fluido é incompressível se nabla!cdot!V=0. Em 1D isso dá partial u/partial x=0, o que não vale aqui. Além disso, a densidade rho(t) varia no tempo ( partial rho/partial tneq0), então claramente é um fluido compressível.

Resposta

a) vec V(x,t)=gl(-omegasin(omega t)2-cos(omega t),x+Ugr)hatimath
b) É um campo cisalhado na direção x (pois partial u/partial xneq0).
c) O fluido é compressível (pois nablacdot V=partial u/partial xneq0 e rho varia com t).

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