Interprete e resolva o PVI
15 d^2 xd t^2+1,2 d xd t+2 x=5 cos 4 t, x(0)=12, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem linear não homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear de 2º ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea (x_h) e uma solução particular (x_p), e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, multiplicamos toda a equação por 5 para eliminar o coeficiente 1/5 de x’’:
x'' + 6x' + 10x = 25cos(4t)

Passo 3

Agora resolvemos a equação homogênea associada
x'' + 6x' + 10x = 0
A equação característica é r^2 + 6r + 10 = 0, cujas raízes são
r = rac-6 pm raiz36 - 402 = -3 pm i
Logo,
xh(t) = e^-3tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 4

Para a solução particular, assumimos
xp(t) = Acos(4t) + Bsin(4t)
Calculando derivadas:
xp' = -4Asin(4t) + 4Bcos(4t),
xp'' = -16Acos(4t) - 16Bsin(4t)
Substituindo em x'' + 6x' + 10x = 25cos(4t) e agrupando termos, obtemos o sistema
-6A + 24B = 25,
-24A - 6B = 0
Resolvendo, vem
A = -25102,
B = 5051

Passo 5

A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^-3tl(C1cos t + C2sin tr) - 25102cos(4t) + 5051sin(4t)
Usamos x(0)=tfrac12 e x'(0)=0. De x(0)=C1 - 25/102 = 1/2 segue
C1 = 12 + 25102 = 3851
De x'(0) = -3C1 + C2 + 4B = 0 vem
C2 = 3C1 - 4B = 3cdot3851 - 4cdot5051 = -8651

Passo 6

Substituindo os valores de C1, C2, A e B na solução geral, chegamos à resposta final.

Resposta

x(t) = e^-3tl(tfrac3851cos t - tfrac8651sin tr) - tfrac25102cos(4t) + tfrac5051sin(4t)

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