Uma massa pesando 16 libras é presa a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de equilibrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se amassa for puxada para cima e solta do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilibrio, qual será o deslocamento x(t) se for sabido que o meio ambiente oferece resistência numericamente igual à velocidade instantânea.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido linear com resistência proporcional à velocidade; vamos precisar do peso em slugs, da constante elástica da mola via equilíbrio e da EDO do movimento amortecido para achar o deslocamento x(t).

Passo 2

Convertemos o peso em massa no sistema inglês: como o peso é 16 libras e a aceleração da gravidade é 32 ft/s², a massa em slugs é
m=1632=0.5

Passo 3

Determinamos a constante da mola usando o alongamento em equilíbrio: a mola natural tem 5 ft e alonga para 8.2 ft sob o peso, logo o alongamento é 3.2 ft. Pelo princípio de Hooke,
k=Walongamento=163.2=5

Passo 4

Montamos a equação de movimento amortecido. A resistência vale numericamente a velocidade, logo o coeficiente de amortecimento é c=1. A EDO é
m x'' + c x' + k x = 0,
isto é
0.5,x'' + 1,x' + 5,x = 0
ou de forma padrão
x'' + 2x' + 10x = 0

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais: quando solta de um ponto 2 ft acima do equilíbrio, temos x(0)=2 e x’(0)=0. A solução geral para EDO com raízes complexas é
x(t)=e^-t(Acos3t+Bsin3t)

Passo 6

Impondo x(0)=2 dá A=2. Derivando,
x'(t)=e^-tl[-(Acos3t+Bsin3t)-3Asin3t+3Bcos3tr],
então x’(0)=-(A)+3B=0 leva a B=2/3. Assim obtemos x(t).

Resposta

x(t)=e^-tl(2cos3t+tfrac23sin3tr)

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