Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns e situadas em planos distintos ?

Passo 1

Temos duas circunferências C_1 e C_2 com o mesmo centro O e mesmo raio r, mas que pertencem a dois planos distintos, digamos \Pi_1 e \Pi_2. Queremos achar o conjunto de pontos que pertence simultaneamente a C_1 e a C_2.

Passo 2

Cada circunferência pode ser vista como a interseção de uma esfera de centro O e raio r com o seu respectivo plano. Ou seja,
C_1 = S(O,r)\;\cap\;\Pi_1,
C_2 = S(O,r)\;\cap\;\Pi_2.
Logo,
C_1\cap C_2 \;=\; S(O,r)\;\cap\;\bigl(\Pi_1\cap\Pi_2\bigr).

Passo 3

Como \Pi_1 e \Pi_2 são planos distintos que compartilham o ponto O, sua interseção \Pi_1\cap\Pi_2 é uma reta \ell que passa por O.

Passo 4

Agora, intersectamos a reta \ell com a esfera S(O,r). Geometricamente, uma reta passando pelo centro de uma esfera corta a esfera em dois pontos diametralmente opostos, digamos P e Q, com
OP = OQ = r.

Resposta

A interseção das duas circunferências é exatamente o par de pontos antipodais P e Q em que a reta \Pi_1\cap\Pi_2 corta a esfera de raio r centrada em O.

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