Determine o vetor tangente unitário \mathrm{T}(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t e^{-t}, 2 \operatorname{arctg} t, 2 e^{t}\right\rangle, \quad t=0

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto correspondente a t=0 para a curva
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle t e^{-t},\,2\arctan t,\,2e^{t}\bigr\rangle.
O conteúdo envolvido é derivada de vetores e normalização:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-t}\bigr) =e^{-t}-t e^{-t} =e^{-t}(1-t),
\frac{d}{dt}\bigl(2\arctan t\bigr) =\frac{2}{1+t^{2}},
\frac{d}{dt}\bigl(2e^{t}\bigr) =2e^{t}.
Logo,
\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle e^{-t}(1-t),\,\tfrac{2}{1+t^{2}},\,2e^{t}\bigr\rangle.

Passo 3

Avaliamo em t=0:
\mathbf{r}'(0) =\bigl\langle e^{0}(1-0),\,\tfrac{2}{1+0^{2}},\,2e^{0}\bigr\rangle =\langle 1,\,2,\,2\rangle.

Passo 4

Calculamos a norma de \mathbf{r}'(0):
\|\mathbf{r}'(0)\| =\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}} =\sqrt{1+4+4} =\sqrt{9} =3.

Passo 5

Finalmente, o vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0) =\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} =\frac{1}{3}\langle 1,\,2,\,2\rangle =\bigl\langle \tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr\rangle.

Resposta

\mathbf{T}(0)=\bigl\langle \tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr\rangle.

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