Questão 2.
Considere a equação
.
(a) (3P.) Assumindo que
é uma solução fatorada dessa equação, ou seja, uma solução tal que
, determine uma equação diferencial ordinária satisfeita pela função
e uma outra equação satisfeita por
.
(b) (3P.) Obtenha as fórmulas de todas as soluções fatoradas da equação
.
(a) (3P.) Assumindo que
(b) (3P.) Obtenha as fórmulas de todas as soluções fatoradas da equação
Passo 1
O enunciado dá a equação de calor unidimensional
e pede para assumir uma solução fatorada da forma
. O método é o de separação de variáveis: vamos substituir essa forma e obter duas equações ordinárias, uma para
e outra para
.
Passo 2
Substituindo
na PDE, calculamos
Logo a equação fica
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
onde
é a constante de separação.
Passo 3
A igualdade acima gera duas equações diferenciais ordinárias:
Passo 4
Resolvendo cada ODE:
- Para
:
com
constante.
- Para
: a equação característica é , com raízes . Há três casos:
- Se
, então
- Se
, então
- Se
, seja , então
Aqui
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Como
, as soluções fatoradas gerais são, para cada valor real de
:
- Se
,
- Se
,
- Se
, escrevendo ,
Resposta
Todas as soluções fatoradas de
são
- Para cada
:
- Para
:
- Para cada
, com :