Questão 2.

Considere a equação \partial_{t} u=3 \partial_{x}^{2} u.
(a) (3P.) Assumindo que u é uma solução fatorada dessa equação, ou seja, uma solução tal que u(x, t)= X(x) T(t), determine uma equação diferencial ordinária satisfeita pela função T=T(t) e uma outra equação satisfeita por X=X(x).
(b) (3P.) Obtenha as fórmulas de todas as soluções fatoradas da equação \partial_{t} u=3 \partial_{x}^{2} u.

Passo 1

O enunciado dá a equação de calor unidimensional
\partial_{t}u = 3\,\partial_{x}^{2}u
e pede para assumir uma solução fatorada da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). O método é o de separação de variáveis: vamos substituir essa forma e obter duas equações ordinárias, uma para X e outra para T.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na PDE, calculamos
\partial_{t}u = X(x)\,T'(t),\quad \partial_{x}^{2}u = X''(x)\,T(t).
Logo a equação fica
X(x)\,T'(t) = 3\,X''(x)\,T(t).
Dividindo ambos os lados por 3\,X(x)\,T(t), obtemos
\frac{T'(t)}{3\,T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \mu,
onde \mu é a constante de separação.

Passo 3

A igualdade acima gera duas equações diferenciais ordinárias:
T'(t) - 3\,\mu\,T(t) = 0,
X''(x) - \mu\,X(x) = 0.

Passo 4

Resolvendo cada ODE:
  1. Para T:
T'(t) = 3\,\mu\,T(t)\quad\Longrightarrow\quad T(t)=C\,e^{3\,\mu\,t},
com C constante.
  1. Para X: a equação característica é r^{2}-\mu=0, com raízes r=\pm\sqrt{\mu}. Há três casos:
  • Se \mu>0, então
X(x)=A\,e^{\sqrt{\mu}\,x}+B\,e^{-\sqrt{\mu}\,x}.
  • Se \mu=0, então
X''=0\quad\Longrightarrow\quad X(x)=A + B\,x.
  • Se \mu<0, seja \lambda=-\mu>0, então
X''+\lambda\,X=0\quad\Longrightarrow\quad X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda}\,x)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,x).
Aqui A e B são constantes arbitrárias.

Passo 5

Como u(x,t)=X(x)\,T(t), as soluções fatoradas gerais são, para cada valor real de \mu:
  • Se \mu>0,
u(x,t) = \bigl(A\,e^{\sqrt{\mu}\,x}+B\,e^{-\sqrt{\mu}\,x}\bigr)\,e^{3\,\mu\,t}.
  • Se \mu=0,
u(x,t) = (A + B\,x)\,e^{0\cdot t} = A + B\,x.
  • Se \mu<0, escrevendo \lambda=-\mu>0,
u(x,t) = \bigl(A\cos(\sqrt{\lambda}\,x)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,x)\bigr)\,e^{-3\,\lambda\,t}.

Resposta

Todas as soluções fatoradas de \partial_{t}u=3\,\partial_{x}^{2}u são
  • Para cada \mu>0:
u(x,t)=\bigl(Ae^{\sqrt{\mu}\,x}+Be^{-\sqrt{\mu}\,x}\bigr)e^{3\mu t}.
  • Para \mu=0:
u(x,t)=A+Bx.
  • Para cada \mu<0, com \lambda=-\mu:
u(x,t)=\bigl(A\cos(\sqrt{\lambda}\,x)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,x)\bigr)e^{-3\lambda t}.

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