Para que valores reais de \lambda a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z=-\lambda-17 representa uma esfera?

Escolha uma opção:

a. \lambda<-2
b. \lambda>-1
c. \lambda>-2
d. \lambda>-3
e. \lambda<-3
f. \lambda<-1

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z = -\lambda -17
e pede para quais valores reais de \lambda isso representa uma esfera. Para isso, precisamos completar o quadrado em x, y e z, identificar o raio ao final e impor que o quadrado do raio seja positivo.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em cada variável no lado esquerdo. Escrevendo termo a termo:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4, \quad z^{2}-6z = (z-3)^{2}-9.
Logo, a soma dá
x^{2}-2x + y^{2}+4y + z^{2}-6z = (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} - (1+4+9).

Passo 3

Substituindo isso na equação original, obtemos
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} - 14 = -\lambda -17.
Passando -14 para o outro lado,
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} = -\lambda -17 +14 = -\lambda -3.

Passo 4

Para representar uma esfera de raio real não nulo, o lado direito deve ser positivo, ou seja
R^{2} = -\lambda -3 > 0.
Isso implica
-\lambda > 3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda < -3.

Resposta

e. \lambda < -3

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