• A interseção dos planos x+y+z+1=0 e x-y+z+3=0 é uma reta em \mathbb{R}^{3}. Determine a equação desta reta. ( 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que é a interseção dos planos dados pelas equações
x+y+z+1=0
e
x-y+z+3=0.
Informações fornecidas:
  • Dois planos em \mathbb{R}^3 com as equações acima.
  • A interseção de dois planos (não paralelos e não coincidentes) é uma reta. O objetivo é escrever a equação dessa reta (forma paramétrica ou equivalente).

Passo 2

Vamos obter um vetor diretor da reta. Ideia: o vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano. Se os vetores normais dos dois planos são \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então a reta de interseção é ortogonal a ambos, portanto seu vetor diretor \mathbf{d} é paralelo ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Identifiquemos os normais:
\mathbf{n}_1=(1,1,1)\quad\text{(coeficientes de }x,y,z\text{ no primeiro plano)},
\mathbf{n}_2=(1,-1,1)\quad\text{(coeficientes de }x,y,z\text{ no segundo plano)}.
Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Lembro rapidinho a regra: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2 b_3-a_3 b_2,\; a_3 b_1-a_1 b_3,\; a_1 b_2-a_2 b_1\big).
Aplicando aos nossos vetores:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \big(1\cdot1-1\cdot(-1),\;1\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot(-1)-1\cdot1\big).
Calculando cada componente:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(1+1,\;1-1,\;-1-1)=(2,0,-2).
Podemos simplificar escalando por 1/2 para um vetor diretor mais simples:
\mathbf{d}=(1,0,-1).
Explicação rápida: \mathbf{d} é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2, então segue ao longo da interseção.

Passo 3

Precisamos agora de um ponto \mathbf{p}_0 que pertença simultaneamente aos dois planos. Uma forma eficiente é eliminar variáveis entre as duas equações. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos:
(x+y+z+1)-(x-y+z+3)=0-0.
Simplificando (observe que x e z cancelam):
2y-2=0.
Logo
y=1.
Substituímos y=1 em uma das equações para relacionar x e z. Usando a primeira:
x+1+z+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x+z=-2.
Isso descreve uma relação entre x e z válida para qualquer ponto da reta. Para obter um ponto específico, escolhemos um valor conveniente para z. Tomando z=0 (escolha simples), obtemos
x=-2.
Portanto um ponto que está na interseção é
\mathbf{p}_0=(-2,\,1,\,0).
Conferência rápida nas duas equações:
-2+1+0+1=0,\qquad -2-1+0+3=0,
está tudo certo.

Passo 4

Com o ponto \mathbf{p}_0 e o vetor diretor \mathbf{d} podemos escrever a equação paramétrica (forma vetorial) da reta. Se t\in\mathbb{R} é o parâmetro, então
\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}_0+t\mathbf{d}=(-2,\,1,\,0)+t(1,\,0,\,-1).
Isto significa que à medida que t varia percorremos todos os pontos da reta.

Passo 5

Escrevendo as componentes paramétricas explícitas obtemos:
x=-2+t,\qquad y=1,\qquad z=-t.
Também podemos eliminar t para obter uma forma não paramétrica: de t=x+2 e t=-z segue
x+2=-z \quad\Longrightarrow\quad x+z+2=0,
junto com y=1. Ou seja, a reta também é descrita pelo sistema
\begin{cases} x+z+2=0,\\[4pt] y=1. \end{cases}]

Resposta

\mathbf{r}(t)=(-2,\,1,\,0)+t(1,\,0,\,-1),\\ t\in\mathbb{R}.

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