- A interseção dos planos
e
é uma reta em
. Determine a equação desta reta. ( 1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que é a interseção dos planos dados pelas equações
e
Informações fornecidas:
- Dois planos em
com as equações acima. - A interseção de dois planos (não paralelos e não coincidentes) é uma reta. O objetivo é escrever a equação dessa reta (forma paramétrica ou equivalente).
Passo 2
Vamos obter um vetor diretor da reta. Ideia: o vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de
na equação do plano. Se os vetores normais dos dois planos são
e
, então a reta de interseção é ortogonal a ambos, portanto seu vetor diretor
é paralelo ao produto vetorial
.
Identifiquemos os normais:
Agora calculamos o produto vetorial
. Lembro rapidinho a regra: para
e
,
Aplicando aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Podemos simplificar escalando por
para um vetor diretor mais simples:
Explicação rápida:
é perpendicular a
e a
, então segue ao longo da interseção.
Passo 3
Precisamos agora de um ponto
que pertença simultaneamente aos dois planos. Uma forma eficiente é eliminar variáveis entre as duas equações. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos:
Simplificando (observe que
e
cancelam):
Logo
Substituímos
em uma das equações para relacionar
e
. Usando a primeira:
Isso descreve uma relação entre
e
válida para qualquer ponto da reta. Para obter um ponto específico, escolhemos um valor conveniente para
. Tomando
(escolha simples), obtemos
Portanto um ponto que está na interseção é
Conferência rápida nas duas equações:
está tudo certo.
Passo 4
Com o ponto
e o vetor diretor
podemos escrever a equação paramétrica (forma vetorial) da reta. Se
é o parâmetro, então
Isto significa que à medida que
varia percorremos todos os pontos da reta.
Passo 5
Escrevendo as componentes paramétricas explícitas obtemos:
Também podemos eliminar
para obter uma forma não paramétrica: de
e
segue
junto com
. Ou seja, a reta também é descrita pelo sistema