• Determine o ângulo entre as retas x+y+2=0 e 2 x+y+2=0. ( 2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre as duas retas dadas pelas equações x+y+2=0 e 2x+y+2=0.
Informações fornecidas (coordenadas dos coeficientes extraídas das equações dadas):
  • Primeira reta: x+y+2=0. Coeficientes: a_1=1, b_1=1, termo independente c_1=2.
  • Segunda reta: 2x+y+2=0. Coeficientes: a_2=2, b_2=1, termo independente c_2=2.
O que é pedido: o ângulo agudo entre as duas retas (ou seja, o menor ângulo entre elas).

Passo 2

Vamos transformar cada equação para a forma “declive/slope” y=mx+q para identificar os coeficientes angulares (slopes) m, que representam a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
Para a primeira reta x+y+2=0:
y = -x - 2,
logo o coeficiente angular é m_1 = -1.
Para a segunda reta 2x+y+2=0:
y = -2x - 2,
logo o coeficiente angular é m_2 = -2.
Explicação rápida do que é m: em y=mx+q, m é o “declive” da reta; geometricamente, m=\tan\alpha onde \alpha é o ângulo que a reta faz com o eixo x.

Passo 3

Agora, para duas retas com coeficientes angulares m_1 e m_2, o ângulo \theta entre elas (o menor ângulo) satisfaz a relação resultante da fórmula da tangente da diferença de ângulos:
\tan(\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_1\tan\alpha_2}.
Como \tan\alpha_1=m_1 e \tan\alpha_2=m_2, temos a fórmula prática:
\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|.
Colocamos valor absoluto porque queremos o ângulo agudo (positivo).
Breve motivo da fórmula: ela vem diretamente da identidade trigonométrica para \tan(A-B) e do fato de que a inclinação é \tan do ângulo com o eixo x.

Passo 4

Aplicando a fórmula com m_1=-1 e m_2=-2:
\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right| =\left|\frac{-2-(-1)}{1+(-1)\cdot(-2)}\right| =\left|\frac{-1}{1+2}\right| =\left|-\frac{1}{3}\right| =\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora obtemos o ângulo \theta a partir da tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{1}{3}\right).
Para dar uma noção numérica em graus, calculando aproximadamente:
\theta\approx 18,43494882^\circ\approx 18,43^\circ.

Resposta

\theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 18,43^\circ

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