Determine o ângulo entre as retas x+y+2=0 e 2 x+y+2=0. ( 2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre as duas retas dadas pelas equações x+y+2=0 e 2x+y+2=0.
Informações fornecidas (coordenadas dos coeficientes extraídas das equações dadas):
Primeira reta: x+y+2=0. Coeficientes: a_1=1, b_1=1, termo independente c_1=2.
Segunda reta: 2x+y+2=0. Coeficientes: a_2=2, b_2=1, termo independente c_2=2.
O que é pedido: o ângulo agudo entre as duas retas (ou seja, o menor ângulo entre elas).
Passo 2
Vamos transformar cada equação para a forma “declive/slope” y=mx+q para identificar os coeficientes angulares (slopes) m, que representam a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
Para a primeira reta x+y+2=0:
y = -x - 2,
logo o coeficiente angular é m_1 = -1.
Para a segunda reta 2x+y+2=0:
y = -2x - 2,
logo o coeficiente angular é m_2 = -2.
Explicação rápida do que é m: em y=mx+q, m é o “declive” da reta; geometricamente, m=\tan\alpha onde \alpha é o ângulo que a reta faz com o eixo x.
Passo 3
Agora, para duas retas com coeficientes angulares m_1 e m_2, o ângulo \theta entre elas (o menor ângulo) satisfaz a relação resultante da fórmula da tangente da diferença de ângulos: