Domínio de Sistemas: Determine o domínio da função de transferência
H(s)=\frac{s+1}{s^{2}-4}
Quais valores de s devem ser evitados para não haver indeterminação?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente: (a) determinar o domínio da função de transferência H(s)=\frac{s+1}{s^{2}-4} e (b) dizer quais valores de s devem ser evitados para não haver indeterminação. A informação que temos é apenas a expressão racional de H(s).

Passo 2

Explicando o que é necessário: uma função racional como H(s)=\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} está definida para todos os valores de s em que o denominador é diferente de zero. Isso porque divisão por zero é indefinida — gera indeterminação. Portanto, o domínio será o conjunto de todos os s tais que o denominador de H(s) não se anula.

Passo 3

Vamos analisar o denominador. Escrevendo e fatorando em TeX:
s^{2}-4=(s-2)(s+2).
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos cada fator igual a zero:
s-2=0\quad\Rightarrow\quad s=2,
s+2=0\quad\Rightarrow\quad s=-2.

Passo 4

Concluímos que o denominador se anula em s=2 e em s=-2. Assim, esses valores tornam a expressão \dfrac{s+1}{s^{2}-4} uma divisão por zero, o que é proibido.

Passo 5

Verificação de possível cancelamento (remoção da singularidade): se o numerador também fosse zero em um desses pontos, poderia haver cancelamento e a indeterminação seria removível. Calculando o numerador nesses pontos:
\text{para } s=2:\quad s+1=2+1=3\neq0,
\text{para } s=-2:\quad s+1=-2+1=-1\neq0.
Como o numerador não se anula em s=2 nem em s=-2, não há cancelamento — são singularidades reais (pólos) e devem ser excluídas do domínio.

Passo 6

Portanto o domínio é o conjunto de todos os números complexos exceto 2 e -2. Em notação:
\mathbb{C}\setminus\{2,-2\}.

Resposta

\mathrm{Dom}(H)=\mathbb{C}\setminus\{2,-2\}
Os valores a evitar são s=2 e s=-2.

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