Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
f(z)=e^y(cos x+i sen x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função $ f(z) = e^{y}(\cos x + i \sin x) $ satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar identificar as partes real e imaginária da função e depois aplicar as condições de Cauchy-Riemann pra ver se elas se cumprem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real $ u(x, y) $ e imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $:
u(x, y)
Então,
v(x, y)
f(z)

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $:
Primeiro, a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Depois, a derivada de $ u $ em relação a $ y $:
v
Agora, a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
x
E a derivada de $ v $ em relação a $ y $:
y

Passo 4

As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo (ou seja, ser holomorfa), as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos verificar isso com as derivadas que calculamos.

Passo 5

Primeira condição:
partial upartial x = -e^y sin x
partial vpartial y = e^y sin x
Comparando:
-e^y sin x neq e^y sin x
Então, a primeira condição não se cumpre.
Segunda condição:
partial upartial y = e^y cos x
-partial vpartial x = -e^y cos x
Comparando:
e^y cos x neq -e^y cos x
A segunda condição também não se cumpre.

Resposta

A função $ f(z) = e^{y}(\cos x + i \sin x) $ não satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.

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