Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função $ f(z) = e^{y}(\cos x + i \sin x) $ satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar identificar as partes real e imaginária da função e depois aplicar as condições de Cauchy-Riemann pra ver se elas se cumprem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real $ u(x, y) $ e imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $:
Primeiro, a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Depois, a derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Agora, a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
E a derivada de $ v $ em relação a $ y $:
Passo 4
As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo (ou seja, ser holomorfa), as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
Vamos verificar isso com as derivadas que calculamos.
Passo 5
Primeira condição:
Comparando:
Então, a primeira condição não se cumpre.
Segunda condição:
Comparando:
A segunda condição também não se cumpre.
Resposta
A função $ f(z) = e^{y}(\cos x + i \sin x) $ não satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.