As interseções das curvas de equações
e
são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela interseção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação
, quando apresentada na forma
possui coeficientes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com interseções de curvas e propriedades de polígonos. A gente vai precisar achar onde duas curvas se cruzam, formar um polígono com esses pontos e depois descobrir a equação de uma reta específica relacionada a esse polígono.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das duas curvas dadas:
- $ x^{2} + y^{2} - 7x - 9 = 0 $
- $ y^{2} = x + 2 $
Vamos substituir a segunda equação na primeira para facilitar.
Passo 3
Substituindo $ y^{2} $ por $ x + 2 $ na primeira equação:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para $ x $:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando a segunda equação $ y^{2} = x + 2 $.
Para $ x = 7 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 6
Então, os pontos de interseção são:
- $ (7, 3) $
- $ (7, -3) $
- $ (-1, 1) $
- $ (-1, -1) $
Esses quatro pontos são os vértices do polígono mencionado no enunciado.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a reta que passa pela interseção das diagonais desse polígono e que é paralela à reta $ 2x - y + 3 = 0 $.
Primeiro, vamos identificar as diagonais do polígono formado pelos pontos que encontramos.
Passo 8
As diagonais de um quadrilátero conectam vértices que não estão lado a lado. Vamos conectar os pontos:
- Diagonal 1: $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $
- Diagonal 2: $ (7, -3) $ e $ (-1, 1) $
Agora, vamos encontrar as equações dessas diagonais.
Passo 9
Para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos, usamos a fórmula da inclinação:
Vamos calcular a inclinação da Diagonal 1:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
Agora, a inclinação da Diagonal 2:
Pontos $ (7, -3) $ e $ (-1, 1) $:
Pontos $ (7, -3) $ e $ (-1, 1) $:
Passo 10
As diagonais se intersectam no ponto médio de ambas. Vamos encontrar o ponto médio de uma das diagonais.
Usando Diagonal 1:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
Então, o ponto de interseção das diagonais é $ (3, 1) $.
Passo 11
A reta que queremos encontrar passa por esse ponto $ (3, 1) $ e é paralela à reta $ 2x - y + 3 = 0 $.
Duas retas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular. Vamos encontrar a inclinação da reta dada.
Passo 12
Reescrevendo $ 2x - y + 3 = 0 $ na forma $ y = mx + b $:
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é 2.
Passo 13
Como a reta que queremos é paralela, ela também terá inclinação 2. Agora, usando a forma $ y = mx + b $ e sabendo que passa por $ (3, 1) $, podemos encontrar $ b $.
Substituindo:
Resposta
O coeficiente $ a $ da reta é $ 2 $.