As interseções das curvas de equações x^2+y^2-7 x-9=0 e y^2=x+2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela interseção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação 2 x-y+3=0, quando apresentada na forma y=a x+b possui coeficientes:
a=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com interseções de curvas e propriedades de polígonos. A gente vai precisar achar onde duas curvas se cruzam, formar um polígono com esses pontos e depois descobrir a equação de uma reta específica relacionada a esse polígono.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das duas curvas dadas:
  1. $ x^{2} + y^{2} - 7x - 9 = 0 $
  2. $ y^{2} = x + 2 $
Vamos substituir a segunda equação na primeira para facilitar.

Passo 3

Substituindo $ y^{2} $ por $ x + 2 $ na primeira equação:
y^2
Simplificando isso:
x + 2
x^2 + (x + 2) - 7x - 9 = 0

Passo 4

Agora temos uma equação quadrática:
x^2 - 6x - 7 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot (-7)2 cdot 1
x = 6 pm raiz36 + 282
x = 6 pm raiz642
Então, temos duas soluções para $ x $:
x = 6 pm 82
x

Passo 5

Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando a segunda equação $ y^{2} = x + 2 $.
Para $ x = 7 $:
x
y
y^2 = x + 2
Para $ x = -1 $:
x = 7
y^2 = 7 + 2
y^2 = 9

Passo 6

Então, os pontos de interseção são:
  • $ (7, 3) $
  • $ (7, -3) $
  • $ (-1, 1) $
  • $ (-1, -1) $
Esses quatro pontos são os vértices do polígono mencionado no enunciado.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a reta que passa pela interseção das diagonais desse polígono e que é paralela à reta $ 2x - y + 3 = 0 $.
Primeiro, vamos identificar as diagonais do polígono formado pelos pontos que encontramos.

Passo 8

As diagonais de um quadrilátero conectam vértices que não estão lado a lado. Vamos conectar os pontos:
  • Diagonal 1: $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $
  • Diagonal 2: $ (7, -3) $ e $ (-1, 1) $
Agora, vamos encontrar as equações dessas diagonais.

Passo 9

Para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos, usamos a fórmula da inclinação:
m = y2 - y1x2 - x1
Vamos calcular a inclinação da Diagonal 1:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
(7, 3)
Agora, a inclinação da Diagonal 2:
Pontos $ (7, -3) $ e $ (-1, 1) $:
(-1, -1)

Passo 10

As diagonais se intersectam no ponto médio de ambas. Vamos encontrar o ponto médio de uma das diagonais.
Usando Diagonal 1:
Pontos $ (7, 3) $ e $ (-1, -1) $:
(7, 3) é
(-1, -1) é
Então, o ponto de interseção das diagonais é $ (3, 1) $.

Passo 11

A reta que queremos encontrar passa por esse ponto $ (3, 1) $ e é paralela à reta $ 2x - y + 3 = 0 $.
Duas retas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular. Vamos encontrar a inclinação da reta dada.

Passo 12

Reescrevendo $ 2x - y + 3 = 0 $ na forma $ y = mx + b $:
2x - y + 3 = 0
y = mx + b
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é 2.

Passo 13

Como a reta que queremos é paralela, ela também terá inclinação 2. Agora, usando a forma $ y = mx + b $ e sabendo que passa por $ (3, 1) $, podemos encontrar $ b $.
Substituindo:
y = mx + b
(3, 1)
b
1 = 2(3) + b

Resposta

O coeficiente $ a $ da reta é $ 2 $.

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