Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hopital.)
Passo 1
A sequência dada é
. O conteúdo here envolve limites de sequências, transformações com exponenciais e logaritmos, e uso do Teorema de L’Hôpital para avaliar formas indeterminadas.
Passo 2
Para achar o limite, escrevemos
em termos de uma exponencial. Definimos
pois então
Passo 3
O limite
tem a forma
, que convertemos em quociente:
Passo 4
Aplicamos o Teorema de L’Hôpital (derivada de numerador sobre derivada de denominador):
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Logo,
Passo 5
Portanto,
, ou seja, a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.