Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hopital.)

Passo 1

A sequência dada é an=l(n-3nr)^n. O conteúdo here envolve limites de sequências, transformações com exponenciais e logaritmos, e uso do Teorema de L’Hôpital para avaliar formas indeterminadas.

Passo 2

Para achar o limite, escrevemos an em termos de uma exponencial. Definimos
L=limntoinftynlnl(1-3nr)
pois então an=e^nlnl(1-tfrac3nr) e lim an=e^L.

Passo 3

O limite L tem a forma inftycdot0, que convertemos em quociente:
L=limntoinftylnl(1-tfrac3nr)1/n.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de L’Hôpital (derivada de numerador sobre derivada de denominador):
Derivada do numerador:
ddnlnl(1-3nr)=11-3/ncdot3n^2,
Derivada do denominador:
ddnl(1/nr)=-1n^2.
Logo,
L=limntoinfty(3/n^2)/(1-3/n)-1/n^2=limntoinfty-31-3/n=-3.

Passo 5

Portanto, limntoinftyan=e^L=e^-3, ou seja, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^-3.

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