Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
. O objetivo é verificar a convergência e, se convergente, achar
. O conteúdo envolve convergência de sequências e limites, especialmente o limite fundamental
.
Passo 2
Para usar o Teorema do Confronto na demonstração de
, lembramos das desigualdades gráficas: para
temos
e também, usando aproximação de séries ou área de setor,
. Dividindo por
e passando ao limite, obtemos
Daí, aplicando
e pelo Teorema do Confronto conclui-se que
.
Passo 3
Voltando à sequência, definimos
, de modo que
quando
. Reescrevendo
temos
Pelo limite fundamental,
. Logo,
, e portanto a sequência converge para 1.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 1.