Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an = n sinl(tfrac1nr). O objetivo é verificar a convergência e, se convergente, achar limntoinfty an. O conteúdo envolve convergência de sequências e limites, especialmente o limite fundamental limxto 0 tfracsin xx = 1.

Passo 2

Para usar o Teorema do Confronto na demonstração de limxto0 tfracsin xx = 1, lembramos das desigualdades gráficas: para x > 0 temos sin x < x e também, usando aproximação de séries ou área de setor, sin x > x - tfracx^36. Dividindo por x e passando ao limite, obtemos
1 - x^26 <= sin xx <= 1
Daí, aplicando x to 0 e pelo Teorema do Confronto conclui-se que limxto0 tfracsin xx = 1.

Passo 3

Voltando à sequência, definimos xn = tfrac1n, de modo que xn to 0 quando n to infty. Reescrevendo an temos
an = n sinl(tfrac1nr) = sin(xn)xn
Pelo limite fundamental, tfracsin(xn)xn to 1. Logo, limntoinfty an = 1, e portanto a sequência converge para 1.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

Exercícios relacionados