As interseções das curvas de equações x^2+y^2-7 x-9=0 e y^2=x+2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela interseção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação 2 x-y+3=0, quando apresentada na forma y=a x+b possui coeficientes:
b=

Passo 1

O enunciado pede para acharmos as interseções da circunferência de equação x^2+y^2-7x-9=0 com a parábola de equação y^2=x+2, cujos pontos de interseção são os vértices de um quadrilátero. Em seguida, precisamos traçar a reta que passa pelo ponto de interseção das diagonais desse quadrilátero e que seja paralela à reta de equação 2x-y+3=0.

Passo 2

Substituímos x=y^2-2 (da parábola) na equação da circunferência e obtemos uma equação em y.
Começamos completando a substituição:
l(y^2-2r)^2+y^2-7l(y^2-2r)-9=0
Expandindo e simplificando chegamos a
y^4-4y^2+4+y^2-7y^2+14-9=0
i.e.
y^4-10y^2+9=0
Fazendo t=y^2, resulta em t^2-10t+9=0, cujas raízes são t=9 e t=1. Assim
y^2=9Rightarrow y=pm3, y^2=1Rightarrow y=pm1

Passo 3

Os correspondentes valores de x=y^2-2 são
x=9-2=7para y=pm3, x=1-2=-1para y=pm1

Passo 4

Logo, os quatro vértices são (-1,-1),(-1,1),(7,3),(7,-3).
As diagonais do quadrilátero unem (-1,-1) a (7,3) e (-1,1) a (7,-3).

Passo 5

A reta passando por (-1,-1) e (7,3) tem coeficiente angular m1=tfrac3-(-1)7-(-1)=tfrac12 e equação
y=tfrac12x-tfrac12
A reta passando por (-1,1) e (7,-3) tem coeficiente angular m2=tfrac-3-17-(-1)=-tfrac12 e equação
y=-tfrac12x+tfrac12

Passo 6

Resolvendo o sistema das duas retas para achar o ponto de interseção das diagonais,
[
y=tfrac12x-tfrac12, y=-tfrac12x+tfrac12
\quad\Rightarrow\quad(x,y)=(1,0).
Sabendo que a reta buscada deve ser paralela a 2x-y+3=0, cujo coeficiente angular é 2, e passar por (1,0), temos
y-0=2(x-1)
Logo
y=2x-2

Resposta

-2

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