Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hopital.)
Passo 1
Temos a sequência
. O que pedem: verificar se
converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo envolve limites de sequências, manipulações com exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hôpital.
Passo 2
Para lidar com essa potência, vamos estudar o logaritmo da sequência. Se existir
, então
. Calculamos
Passo 3
Reescrevemos o logaritmo interno como
logo
Esse produto é do tipo
, então colocamos como quociente:
Passo 4
Para aplicar o Teorema de L’Hôpital, definimos
e
. Calculamos as derivadas:
Então
Passo 5
Como
, concluímos que
. Portanto, a sequência converge e seu limite é
.