Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hopital.)

Passo 1

Temos a sequência an = l(n-1n+1r)^n. O que pedem: verificar se (an) converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo envolve limites de sequências, manipulações com exponenciais, logaritmos e o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Para lidar com essa potência, vamos estudar o logaritmo da sequência. Se existir L = limntoinftyan, então ln L = limntoinftyln(an). Calculamos
ln(an) = nln!l(tfracn-1n+1r)

Passo 3

Reescrevemos o logaritmo interno como
ln!l(tfracn-1n+1r) = lnl(1 - tfrac2n+1r),
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ln(an) = nlnl(1 - tfrac2n+1r)
Esse produto é do tipo infty cdot 0, então colocamos como quociente:
ln(an) = lnl(1 - tfrac2n+1r)1/n,

Passo 4

Para aplicar o Teorema de L’Hôpital, definimos f(x)=lnl(1-tfrac2x+1r) e g(x)=1/x. Calculamos as derivadas:
f'(x)=2(x+1)^2l(1-tfrac2x+1r)=2(x+1)(x-1),
g'(x)=-1x^2
Então
limntoinftyln(an)=limxtoinftyf'(x)g'(x)=limxtoinftyl(-2x^2(x+1)(x-1)r)=-2

Passo 5

Como ln(an)to -2, concluímos que anto e^-2. Portanto, a sequência converge e seu limite é e^-2.

Resposta

e^-2

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