Nos problemas 9-16, decida se o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição podem ser aplicados para encontrar uma solução particular da equação dada. Não resolva a equação.
$
[
y^{\prime \prime}-y{\prime}+y=\left(e{\prime}+t\right)^{2}
]$
$
[
y^{\prime \prime}-y{\prime}+y=\left(e{\prime}+t\right)^{2}
]$
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede apenas para decidir se o método dos coeficientes indeterminados (mais superposição) pode ser aplicado para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Expandimos o termo da direita para identificar suas componentes:
Passo 3
Note que as três parcelas são:
ou seja, um termo exponencial puro
, um termo exponencial multiplicado por polinômio
e um polinômio
. Todas essas formas são típicas do método dos coeficientes indeterminados.
Passo 4
Verificamos se algum desses termos entra em “ressonância” com a solução geral da homogênea. A equação característica da homogênea é
cuja solução não é
nem
. Logo, não há conflito entre as raízes características e os expoentes
ou
.
Passo 5
Como cada termo da força externa tem forma adequada e não ressoa com a homogênea, podemos usar o método dos coeficientes indeterminados e, por superposição, montar uma solução particular como soma de candidatos para cada parcela.
Resposta
Sim, o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição pode ser aplicado.