Nos problemas 9-16, decida se o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição podem ser aplicados para encontrar uma solução particular da equação dada. Não resolva a equação.
$
[
y^{\prime \prime}-y{\prime}+y=\left(e{\prime}+t\right)^{2}
]$

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' - y' + y = l(e^t + tr)^2
e pede apenas para decidir se o método dos coeficientes indeterminados (mais superposição) pode ser aplicado para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Expandimos o termo da direita para identificar suas componentes:
l(e^t + tr)^2 = e^2t + 2,t,e^t + t^2

Passo 3

Note que as três parcelas são:
e^2t, 2,t,e^t, t^2,
ou seja, um termo exponencial puro e^2t, um termo exponencial multiplicado por polinômio t,e^t e um polinômio t^2. Todas essas formas são típicas do método dos coeficientes indeterminados.

Passo 4

Verificamos se algum desses termos entra em “ressonância” com a solução geral da homogênea. A equação característica da homogênea é
r^2 - r + 1 = 0,
cuja solução não é r=2 nem r=1. Logo, não há conflito entre as raízes características e os expoentes 2 ou 1.

Passo 5

Como cada termo da força externa tem forma adequada e não ressoa com a homogênea, podemos usar o método dos coeficientes indeterminados e, por superposição, montar uma solução particular como soma de candidatos para cada parcela.

Resposta

Sim, o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição pode ser aplicado.

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