1- O intervalo [ 35, 14 ; 35,86 ] é o intervalo de confiança de 95 \%, construído a partir de uma amostra de tamanho 121, para a média \mu de uma população Normal com desvio padrão igual a 2.
a) Qual o valor da média?
b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas uma confiança de 90 \%, qual seria o novo intervalo de confiança? (interprete os resultados).

Passo 1

O enunciado informa que temos um intervalo de confiança de 95 % para a média de uma população Normal com desvio padrão \sigma=2, baseado em amostra de tamanho n=121. Para essa situação, usamos a fórmula
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
com \alpha=0,05 e z_{0,975}=1,96.

Passo 2

A média amostral \bar x é o ponto médio do intervalo [35,14;35,86]. Calculando
\bar x = \frac{35,14 + 35,86}{2} = 35,50.

Passo 3

O erro amostral (semi-amplitude) do intervalo de 95 % é
\frac{35,86 - 35,14}{2} = 0,36,
o que confere com o valor teórico
1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{121}} \approx 0,36.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 90 % ( \alpha=0,10) tomamos z_{0,95}=1,645. O novo erro fica
E_{90} = 1,645 \cdot \frac{2}{\sqrt{121}} \approx 0,30
e o intervalo resultante é
[\,35,50 - 0,30 \;,\; 35,50 + 0,30\,] = [\,35,20;35,80\,].
Ao reduzir o nível de confiança de 95 % para 90 %, o intervalo fica mais estreito, refletindo menor garantia de conter o verdadeiro \mu.

Resposta

(a) A média amostral é \bar{x} = 35,50.\n(b) O intervalo de confiança de 90\% é aproximadamente [35,20;35,80].

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