De uma amostra normal com parâmetro desconhecidos, retirou-se uma amostra de 25 elementos para estimar \mu, obtendo-se \bar{x}=15 e s^{2}=36. Determinar um IC para a média ao nível de 5 \%. R: P(12,523<\mu<17,477)

Passo 1

O enunciado considera uma amostra aleatória de tamanho n=25 proveniente de uma população normal com média \mu desconhecida e variância desconhecida. Da amostra obteve-se a média \bar x = 15 e a variância amostral s^2 = 36. Pede-se um intervalo de confiança de 95\% (nível de significância \alpha = 0{,}05) para \mu. O conteúdo necessário é o uso da distribuição t de Student para estimar média quando a variância populacional é desconhecida.

Passo 2

Quando a variância é desconhecida e a amostra é normal, vale
T \;=\;\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}\;\sim\;t_{\,n-1}.
Para nível de confiança 1-\alpha para \mu, o intervalo é
\bar x \pm t_{1-\frac\alpha2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt n}.

Passo 3

Aqui temos \alpha=0{,}05, n=25 e, portanto, n-1=24. Pela tabela de t-Student ou software,
t_{1-\frac\alpha2,\,24} = t_{0{,}975,\,24} \approx 2{,}064.

Passo 4

Calculamos a meia-amplitude do intervalo (erro máximo):
E = t_{0{,}975,\,24}\,\frac{s}{\sqrt n} = 2{,}064 \times \frac{6}{\sqrt{25}} = 2{,}064 \times 1{,}2 \approx 2{,}4768.
Assim, os limites ficam
15 - 2{,}4768 \approx 12{,}5232, \quad 15 + 2{,}4768 \approx 17{,}4768.

Resposta

P(12{,}523<\mu<17{,}477)

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