Seja X uma variável aleatória normal com parâmetro desconhecidos. Dessa população foi retirada uma amostra x_{i}: 10,12,14,15,9,12,16,11,8,13. Construir um IC para \mu ao nível de 5 \%. R: P(10,152<\mu<13,848)=0,95

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=10 retirada de uma população normal com variância desconhecida e pede um intervalo de confiança para a média \mu ao nível de 5\%. Para isso usaremos o método baseado na distribuição de Student, que exige calcular a média amostral \bar{x}, o desvio-padrão amostral s e o quantil t correspondente.

Passo 2

Calculamos a média amostral somando todos os valores:
\sum_{i=1}^{10}x_i = 10+12+14+15+9+12+16+11+8+13 = 120.
Como n=10,
\bar{x} = \frac{120}{10} = 12.

Passo 3

Para o desvio-padrão amostral, primeiro obtemos o somatório dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 = 60.
Então
s^2 = \frac{60}{n-1} = \frac{60}{9} = 6,667
e
s = \sqrt{6,667} \approx 2,582.

Passo 4

O pivô
\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}
segue a distribuição t de Student com n-1=9 graus de liberdade. Para \alpha=0,05 temos \alpha/2=0,025 e o quantil crítico é
t_{0,975;9} \approx 2,262.

Passo 5

O intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar{x} \pm t_{0,975;9}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
12 \pm 2,262 \;\frac{2,582}{\sqrt{10}}.

Passo 6

Calculamos primeiro
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2,582}{\sqrt{10}} \approx 0,817,
logo a margem de erro é
2,262 \times 0,817 \approx 1,848.
Assim o intervalo fica
12 - 1,848 = 10,152 \quad\text{e}\quad 12 + 1,848 = 13,848.

Resposta

P(10,152<\mu<13,848)=0,95

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