O serviço social de um município deseja determinar a proporção de famílias com uma renda familiar inferior a \mathrm{R} \ 600,00 . Estudos anteriores indicam que esta proporção é deçãé20 %$.
(a) Que tamanho de amostra se requer para assegurar uma confiança de 95 \% que o erro máximo de estimação desta proporção não ultrapasse 0,05 ?
(b) Em quanto variará o tamanho da amostra se o erro máximo permissível for reduzido a 0,01 .?

Passo 1

O enunciado quer estimar a proporção de famílias com renda abaixo de R$ 600,00. Sabemos por estudos anteriores que p=0,20. Para um nível de confiança de 95\% usamos Z_{0,975}=1,96 e a fórmula do tamanho de amostra para proporção:
n=\frac{Z_{0,975}^{2}\,p\,(1-p)}{E^{2}},
onde E é o erro máximo permitido.

Passo 2

Para E=0,05 aplicamos a fórmula:
n=\frac{1,96^{2}\times0,20\times0,80}{0,05^{2}} =\frac{3,8416\times0,16}{0,0025} =245,8624.
Arredondando para o próximo inteiro, obtemos n=246.

Passo 3

Se reduzirmos o erro para E=0,01, então
n=\frac{1,96^{2}\times0,20\times0,80}{0,01^{2}} =\frac{0,614656}{0,0001} =6146,56.
Arredondando, obtemos n=6147.

Passo 4

A variação no tamanho da amostra ao passar de E=0,05 para E=0,01 é
6147-246=5901.

Resposta

(a) n=246.
(b) O tamanho da amostra aumenta em 5901.

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