Construir um IC de 90 \% para média de uma população Normal com variância desconhecida, sabendo-se que uma amostra de 26 observações fornece \bar{x}=15,6 e S^{2}=2,8. \mathrm{R}: I C=(\mu, 90 \%)=[15,04 ; 16,16]

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 90\% para a média \mu de uma população Normal com variância desconhecida. Temos uma amostra de tamanho n=26, com média amostral \bar{x}=15,6 e variância amostral S^2=2,8. Como a variância é desconhecida, usaremos a distribuição \emph{t} de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calculamos os graus de liberdade e o valor crítico da \emph{t} para 90\% de confiança.
Graus de liberdade:
\mathrm{df}=n-1=26-1=25.
Para intervalo de 90\%, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. Do quadro de \emph{t},
t_{0,05,\,25}\approx 1,708.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média:
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{S^2}{n}} = \sqrt{\frac{2,8}{26}} \approx \sqrt{0,10769} \approx 0,328.

Passo 4

Determinamos a margem de erro (ME):
\mathrm{ME} = t_{0,05,\,25}\times \mathrm{SE} \approx 1,708 \times 0,328 \approx 0,560.

Passo 5

Construímos então o intervalo de confiança:
Limite inferior:
\bar{x} - \mathrm{ME} = 15,6 - 0,560 = 15,04.
Limite superior:
\bar{x} + \mathrm{ME} = 15,6 + 0,560 = 16,16.

Resposta

[15,04;16,16]

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