De uma população normal com variância 25 extrai-se uma amostra aleatória simples de tamanho
com o objetivo de se estimar a média populacional
com um nível de confiança de
e margem de erro de 2 . Qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
- Variância populacional:
. - Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
.
O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostranecessário para estimar a média populacional com as características acima.
Passo 2
Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática).
Quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média
com nível de confiança
é dado por
Quando a variância populacional
onde:
-
é a média amostral (não precisamos do seu valor para escolher ); -
é o desvio-padrão populacional; -
é o tamanho da amostra que queremos achar; -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que .
A margem de errodesse intervalo é justamente
Isolando
dessa expressão obtém-se a fórmula usada para calcular o tamanho da amostra:
Aqui cada símbolo significa:
(número da tabela z),
(desvio-padrão),
(erro máximo permitido).
Passo 3
Calcular
a partir da variância dada.
Dado , temos
Dado
Passo 4
Determinar
para nível de confiança
.
O nível de confiança é , logo
e
. Precisamos de
O nível de confiança é
O valor tabelado (quantil da normal padrão) é aproximadamente
(Este é um valor padrão: para
de confiança usa-se
.)
Passo 5
Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
Usando
temos
Calculemos o numerador:
Dividindo por
:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Arredondamento para número inteiro.
O tamanho de amostra deve ser um inteiro e, para garantir que a margem de erro seja no máximo
, devemos arredondar sempre para cima (arredondar para o inteiro imediatamente superior). Assim
O tamanho de amostra
Arredondar para baixo daria uma amostra insuficiente para garantir a margem de erro pedida.
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo.
Portanto, coletar observações garante que, usando a informação
e um nível de confiança de
, a margem de erro máxima para estimar
será
. Boa! Já está definido o tamanho mínimo da amostra — agora é só aplicar no exame ou na coleta de dados.
Portanto, coletar
Resposta
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