De uma população normal com variância 25 extrai-se uma amostra aleatória simples de tamanho n com o objetivo de se estimar a média populacional \mu com um nível de confiança de 90 \% e margem de erro de 2 . Qual deve ser o tamanho da amostra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
  • Variância populacional: \sigma^{2}=25.
  • Nível de confiança: 90\%.
  • Margem de erro desejada: E=2.
    O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra n necessário para estimar a média populacional \mu com as características acima.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática).
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (não precisamos do seu valor para escolher n);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar;
  • z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{1-\frac{\alpha}{2}})=1-\frac{\alpha}{2}.
    A margem de erro E desse intervalo é justamente
E = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n dessa expressão obtém-se a fórmula usada para calcular o tamanho da amostra:
n = \left(\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma}{E}\right)^{2}.
Aqui cada símbolo significa: z_{1-\frac{\alpha}{2}} (número da tabela z), \sigma (desvio-padrão), E (erro máximo permitido).

Passo 3

Calcular \sigma a partir da variância dada.
Dado \sigma^{2}=25, temos
\sigma=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Determinar z_{1-\frac{\alpha}{2}} para nível de confiança 90\%.
O nível de confiança é 1-\alpha=0{,}90, logo \alpha=0{,}10 e \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05. Precisamos de
z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0{,}95}.
O valor tabelado (quantil da normal padrão) é aproximadamente
z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
(Este é um valor padrão: para 90\% de confiança usa-se 1{,}645.)

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
n = \left(\frac{z_{0{,}95}\sigma}{E}\right)^{2},
temos
n = \left(\frac{1{,}645\cdot 5}{2}\right)^{2}.
Calculemos o numerador:
1{,}645\cdot 5 = 8{,}225.
Dividindo por E=2:
\frac{8{,}225}{2}=4{,}1125.
Elevando ao quadrado:
n = (4{,}1125)^{2}=16{,}91515625\approx 16{,}915.

Passo 6

Arredondamento para número inteiro.
O tamanho de amostra n deve ser um inteiro e, para garantir que a margem de erro seja no máximo E, devemos arredondar sempre para cima (arredondar para o inteiro imediatamente superior). Assim
n=\lceil 16{,}915\rceil = 17.
Arredondar para baixo daria uma amostra insuficiente para garantir a margem de erro pedida.

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo.
Portanto, coletar 17 observações garante que, usando a informação \sigma^{2}=25 e um nível de confiança de 90\%, a margem de erro máxima para estimar \mu será 2. Boa! Já está definido o tamanho mínimo da amostra — agora é só aplicar no exame ou na coleta de dados.

Resposta

17

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