Um estudo com 25 proprietários de automóvel de uma determinada cidade revelou que cada automóvel roda, em média, 22.000 km por ano, com um desvio padrão de 3800 km . Supondo que a rodagem possa ser aproximadamente descrita por uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança com nível de confiança de
para a rodagem anual média dos carros desta cidade.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral da rodagem anual:
(km/ano). - Desvio padrão amostral:
(km/ano).
O que é pedido: - Construir um intervalo de confiança com nível de confiança de
para a rodagem anual média dos carros desta cidade (ou seja, um intervalo para a média populacional ).
Passo 2
Que método usar?
Não foi informado o desvio padrão da população e a amostra é pequena ( ), mas o enunciado diz que a rodagem pode ser descrita por uma distribuição normal. Nessas condições usa-se o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição
de Student.
Não foi informado o desvio padrão da população e a amostra é pequena (
Breve explicação (didática e intuitiva): a distribuição
é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas para amostras pequenas — isso corrige a incerteza extra quando só conhecemos
(o desvio amostral) e não o desvio da população. Conforme a amostra cresce, a
se aproxima da normal.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (duas caudas) para a média quando a variância populacional é desconhecida:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, correspondente à probabilidade acumulada . Para nível de confiança , tem-se e . -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui ). - O produto
é a margem de erro.
Passo 4
Determinar os valores numéricos necessários:
- Graus de liberdade:
. - Nível de significância:
. Logo . - Valor crítico da
: consultar uma tabela de ou usar função inversa. Para e obtemos aproximadamente
(Se usar calculadora estatística: função inversa da
com probabilidade
e
graus de liberdade.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Explicando: o erro padrão mede a variabilidade da média amostral; quanto maior
, menor esse erro.
Passo 6
Calcular a margem de erro:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Portanto a margem de erro é aproximadamente
(km/ano). Arredondando para o quilômetro mais próximo,
km/ano.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança:
Arredondando para o quilômetro mais próximo, o intervalo fica
km/ano.
Passo 8
Interpretação final (didática e tranquila): com
de confiança, o verdadeiro valor da rodagem média anual dos carros desta cidade está entre aproximadamente
km e
km. Isso significa que se repetíssemos amostragens do mesmo tipo muitas vezes, cerca de
desses intervalos conteriam a média populacional verdadeira. Vai dar certo na prova — você apresentou os passos que o professor espera.