Um estudo com 25 proprietários de automóvel de uma determinada cidade revelou que cada automóvel roda, em média, 22.000 km por ano, com um desvio padrão de 3800 km . Supondo que a rodagem possa ser aproximadamente descrita por uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança com nível de confiança de 98 \% para a rodagem anual média dos carros desta cidade.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral da rodagem anual: \bar{x}=22000 (km/ano).
  • Desvio padrão amostral: s=3800 (km/ano).
    O que é pedido:
  • Construir um intervalo de confiança com nível de confiança de 98\% para a rodagem anual média dos carros desta cidade (ou seja, um intervalo para a média populacional \mu).

Passo 2

Que método usar?
Não foi informado o desvio padrão da população e a amostra é pequena ( n=25), mas o enunciado diz que a rodagem pode ser descrita por uma distribuição normal. Nessas condições usa-se o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição t de Student.
Breve explicação (didática e intuitiva): a distribuição t é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas para amostras pequenas — isso corrige a incerteza extra quando só conhecemos s (o desvio amostral) e não o desvio da população. Conforme a amostra cresce, a t se aproxima da normal.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (duas caudas) para a média quando a variância populacional é desconhecida:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=22000).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente à probabilidade acumulada 1-\alpha/2. Para nível de confiança 98\%, tem-se \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01.
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=3800).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui \sqrt{25}=5).
  • O produto t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} é a margem de erro.

Passo 4

Determinar os valores numéricos necessários:
  • Graus de liberdade: n-1=25-1=24.
  • Nível de significância: \alpha=1-0{,}98=0{,}02. Logo \alpha/2=0{,}01.
  • Valor crítico da t: consultar uma tabela de t ou usar função inversa. Para df=24 e \alpha/2=0{,}01 obtemos aproximadamente
t_{1-0{,}01,\,24}=t_{0{,}99,\,24}\approx 2{,}492.
(Se usar calculadora estatística: função inversa da t com probabilidade 0{,}99 e 24 graus de liberdade.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3800}{\sqrt{25}}=\frac{3800}{5}=760\\ \text{(km/ano)}.
Explicando: o erro padrão mede a variabilidade da média amostral; quanto maior n, menor esse erro.

Passo 6

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=t_{0{,}99,24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}492\times 760.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
2{,}492\times 760 = 2\times760 + 0{,}492\times760 = 1520 + 373{,}92 = 1893{,}92.
Portanto a margem de erro é aproximadamente 1893{,}92 (km/ano). Arredondando para o quilômetro mais próximo, 1894 km/ano.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=22000-1893{,}92=20106{,}08.
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=22000+1893{,}92=23893{,}92.
Arredondando para o quilômetro mais próximo, o intervalo fica [20106,\;23894] km/ano.

Passo 8

Interpretação final (didática e tranquila): com 98\% de confiança, o verdadeiro valor da rodagem média anual dos carros desta cidade está entre aproximadamente 20{,}106 km e 23{,}894 km. Isso significa que se repetíssemos amostragens do mesmo tipo muitas vezes, cerca de 98\% desses intervalos conteriam a média populacional verdadeira. Vai dar certo na prova — você apresentou os passos que o professor espera.

Resposta

[20106{,}08\\ \text{km},\;23893{,}92\\ \text{km}]

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