Intervalo de confiança para média.
A amostra: 20,25,27,30,32,35,38,40,37, e 23 foi extraída de uma população normal. Sabendo-se que se a variância populacional vale 36, construa um intervalo para a verdadeira média populacional, ao nível de 6% de significância.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n extraída de uma população normal com variância populacional conhecida \sigma^2=36. As observações são
20,\;25,\;27,\;30,\;32,\;35,\;38,\;40,\;37,\;23
e o nível de significância é \alpha=0,06. Vamos construir um intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0,94 para a média populacional \mu, usando a distribuição normal padrão, pois \sigma é conhecida.

Passo 2

Calcular a média amostral \overline{x}. Primeiro somamos as observações:
\sum_{i=1}^{10}x_i = 20+25+27+30+32+35+38+40+37+23 = 307.
Logo,
\overline{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i = \frac{307}{10} = 30{,}7.

Passo 3

Como \sigma^2=36, temos \sigma=6. O nível de confiança é
1-\alpha = 0,94,
portanto cada cauda tem área \alpha/2 = 0,03.

Passo 4

Para \sigma conhecido, usamos o quantil z_{1-\alpha/2} da distribuição normal padrão, tal que
P\bigl(Z \le z_{1-\alpha/2}\bigr) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0,97.
Consultando tabela normal, obtém-se
z_{0{,}97} \approx 1{,}8808.

Passo 5

O erro padrão da média é
\sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{10}} \approx 1{,}8974.
A margem de erro vale
E = z_{1-\alpha/2}\,\sigma_{\overline{x}} \approx 1{,}8808 \times 1{,}8974 \approx 3{,}568.

Passo 6

O intervalo de confiança para \mu é
\overline{x} \pm E
ou seja
30{,}7 \pm 3{,}568,
resultando em
\bigl(30{,}7 - 3{,}568 \,,\,30{,}7 + 3{,}568\bigr) = (27{,}132 \,,\,34{,}268).

Resposta

O intervalo de confiança de 94\% para a média populacional é aproximadamente
(27{,}13,\;34{,}27).

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