intervalo(s) no(s) qual(is) a função
é crescente é(são)
(A)
e
.
(B)
e
.
©
.
(D)
.
(E) nenhuma das anteriores.
(A)
(B)
©
(D)
(E) nenhuma das anteriores.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os intervalos onde a função $ f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x - 5 $ está crescente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Vamos derivar cada termo separadamente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a derivada $ f’(x) $ é positiva, o que indica que a função está crescente. Vamos analisar os intervalos definidos pelos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $:
- Para $ x < -1 $, escolha $ x = -2 $:
- Para $ -1 < x < 3 $, escolha $ x = 0 $:
- Para $ x > 3 $, escolha $ x = 4 $:
Passo 5
Analisando os sinais da derivada, vemos que a função $ f(x) $ é crescente no intervalo onde $ f’(x) > 0 $, ou seja, entre $ x = -1 $ e $ x = 3 $.
Resposta
A função $ f(x) $ é crescente no intervalo
. Portanto, a opção correta é a letra ©
.