O(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função f(x)=-x^3+3 x^2+9 x-5 é crescente é(são)
(A) (-infty,-3] e [1,+infty).
(B) (-infty,-1] e [3,+infty).
© [-1 ; 3].
(D) [-3,1].
(E) nenhuma das anteriores.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os intervalos onde a função $ f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x - 5 $ está crescente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Vamos derivar cada termo separadamente:
f(x)
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
-3x^2 + 6x + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
x^2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 2 pm raiz(−2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos duas soluções:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a derivada $ f’(x) $ é positiva, o que indica que a função está crescente. Vamos analisar os intervalos definidos pelos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $:
  1. Para $ x < -1 $, escolha $ x = -2 $:
f'(x)
  1. Para $ -1 < x < 3 $, escolha $ x = 0 $:
x = -1
  1. Para $ x > 3 $, escolha $ x = 4 $:
x = 3

Passo 5

Analisando os sinais da derivada, vemos que a função $ f(x) $ é crescente no intervalo onde $ f’(x) > 0 $, ou seja, entre $ x = -1 $ e $ x = 3 $.

Resposta

A função $ f(x) $ é crescente no intervalo f(x) . Portanto, a opção correta é a letra © [-1; 3].

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