Para qual valor de x a curva y=e^-x^2 tem um ponto de inflexão?
(A) 1raiz2
(b) 12
© 1
(d) e^-1
(e) NRA

Passo 1

O problema pede o(s) valor(es) de x onde a curva y=e^-x^2 muda de concavidade, ou seja, onde há ponto de inflexão. Vamos usar a definição de ponto de inflexão: ocorre quando a segunda derivada y'' se anula e muda de sinal.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas. Como y=e^-x^2:
y' = ddxl(e^-x^2r) = -2x,e^-x^2
Para a segunda derivada:
y'' = ddxl(-2x,e^-x^2r) = -2,e^-x^2 + (-2x)cdot(-2x,e^-x^2) = l(-2 + 4x^2r)e^-x^2

Passo 3

Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos y''=0. Como e^-x^2 nunca é zero, basta resolver
-2 + 4x^2 = 0 ; Longrightarrow; 4x^2 = 2 ; Longrightarrow; x^2 = tfrac12 ; Longrightarrow; x = pmtfrac1raiz2
Então há pontos de inflexão em x=+1/raiz2 e x=-1/raiz2. Dentro das opções fornecidas, o valor positivo correspondente é x=1/raiz2.

Resposta

x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}, sendo, na opção positiva, x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

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