Para qualquer tensor Amu nu pode-se definir sua parte simétrica como Amu nu=A(mu nu)+A[mu nu] e a parte antisimétrica B^mu nu.
  • (a) Mostrar que A(mu nu) B^mu nu=A(mu nu) B^(mu nu)=Amu nu B^(mu nu).
  • (b) Considerando uma definição análoga para A(mu nu) B^[mu nu]=0, mostrar que .
  • © Mostrar que .
  • (d) Repetir (b) e © substituindo .

Passo 1

O exercício cai em teoria de tensores, mais precisamente na decomposição de um tensor de segunda ordem em partes simétrica e antissimétrica e nas propriedades de contração dessas partes. Vamos usar a definição padrão
A(munu)=tfrac12l(Amunu+Anumur),
A[munu]=tfrac12l(Amunu-Anumur)
e a convenção de soma sobre índices repetidos. A gente precisará apenas de manipulações algébricas e da propriedade de que trocar índices em uma parte simétrica não muda nada, mas numa antissimétrica muda de sinal.

Passo 2

Para (a) é só somar as definições de simétrica e antissimétrica: substituindo temos
A(munu)+A[munu] =tfrac12l(Amunu+Anumur) +tfrac12l(Amunu-Anumur) =Amunu
Isso mostra diretamente que
Amunu=A(munu)+A[munu]

Passo 3

Em (b) queremos ver que só a parte simétrica entra no contração com qualquer B^munu. Começamos por
A(munu)B^munu =tfrac12l(Amunu+Anumur)B^munu =tfrac12l(AmunuB^munu+AnumuB^munur)
Na segunda parcela trocamos os nomes murightarrownu na soma, o que não altera o valor:
AnumuB^munu=AmunuB^numu
Logo
A(munu)B^munu =tfrac12l(AmunuB^munu+AmunuB^numur) =A(munu)B^(munu) =AmunuB^(munu)

Passo 4

Em © usamos a mesma ideia:
A(munu)B^[munu] =tfrac12l(Amunu+Anumur)cdottfrac12l(B^munu-B^numur)
Expandindo e trocando índices em uma das parcelas, cada termo se cancela, porque
a parte simétrica em A não muda ao trocar índices, mas a parte antissimétrica de B muda de sinal. O resultado é zero:
A(munu)B^[munu]=0

Passo 5

No item (d) repetimos (b) e © mas trocando as partes: para A[munu] e B^munu vem
A[munu]B^munu=A[munu]B^[munu]=AmunuB^[munu],
e
A[munu]B^(munu)=0

Resposta

a) Amunu=A(munu)+A[munu]. b) A(munu)B^munu=A(munu)B^(munu)=AmunuB^(munu). c) A(munu)B^[munu]=0. d) A[munu]B^munu=A[munu]B^[munu]=AmunuB^[munu] e A[munu]B^(munu)=0.

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