Para qualquer tensor
pode-se definir sua parte simétrica como
e a parte antisimétrica
.
- (a) Mostrar que
.
- (b) Considerando uma definição análoga para
, mostrar que
.
- © Mostrar que
.
- (d) Repetir (b) e © substituindo
.
Passo 1
O exercício cai em teoria de tensores, mais precisamente na decomposição de um tensor de segunda ordem em partes simétrica e antissimétrica e nas propriedades de contração dessas partes. Vamos usar a definição padrão
e a convenção de soma sobre índices repetidos. A gente precisará apenas de manipulações algébricas e da propriedade de que trocar índices em uma parte simétrica não muda nada, mas numa antissimétrica muda de sinal.
Passo 2
Para (a) é só somar as definições de simétrica e antissimétrica: substituindo temos
Isso mostra diretamente que
Passo 3
Em (b) queremos ver que só a parte simétrica entra no contração com qualquer
. Começamos por
Na segunda parcela trocamos os nomes
na soma, o que não altera o valor:
Logo
Passo 4
Em © usamos a mesma ideia:
Expandindo e trocando índices em uma das parcelas, cada termo se cancela, porque
a parte simétrica em não muda ao trocar índices, mas a parte antissimétrica de
muda de sinal. O resultado é zero:
a parte simétrica em
Passo 5
No item (d) repetimos (b) e © mas trocando as partes: para
e
vem
e
Resposta
a)
. b)
. c)
. d)
e
.