Considere o tensor de permutações
em 4-dimensões (espaço de Minkowski). Começando com a componente
, as outras componentes podem ser encontradas da seguinte forma: componentes obtidas de permutações pares dos índices são iguais a 1 e as obtidas de permutações impares são iguais a -1. Finalmente, as componentes com índices repetidos são nulas. Exemplos:
e
. Também considere a delta de Kronecker em 4-dimensões
tal que suas componentes são 1 para
e 0 para
. Verificar as seguentes identidades,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo o tensor de Levi–Civita em 4d Minkowski e a delta de Kronecker:
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Para isso vamos usar a antissimetria do
Passo 2
Como
é totalmente antissimétrico, a soma sobre
só dá não-zero se o par
for exatamente o conjunto dos dois índices que faltam completar
ao lado de
. Mas o segundo
também exige que
. Logo a única chance de não zerar é quando
.
Passo 3
Caso
e
:
Os índices devem ser os dois índices que faltam em
, digamos
. Eles podem aparecer em duas ordens:
ou
.
Em cada ordem temos
Os índices
Em cada ordem temos
pois ao subir índices troca-se o sinal. Somando as duas ordens dá total
Passo 4
Caso
e
:
O raciocínio é o mesmo, mas a permutação extra entre e
inverte o sinal de um dos dois termos, resultando em soma
.
O raciocínio é o mesmo, mas a permutação extra entre
Passo 5
Juntando os dois casos podemos escrever a resposta em termos de deltas, que “ligam”
a
e
a
com sinal
, ou trocam
e
com sinal oposto. Isso reproduz exatamente
Resposta
A identidade está verificada: