Considere o tensor de permutações epsilonmu nu rho sigma=-epsilon^mu nu rho sigma em 4-dimensões (espaço de Minkowski). Começando com a componente epsilon0123=1, as outras componentes podem ser encontradas da seguinte forma: componentes obtidas de permutações pares dos índices são iguais a 1 e as obtidas de permutações impares são iguais a -1. Finalmente, as componentes com índices repetidos são nulas. Exemplos: epsilon0312=1, epsilon3012=-1 e epsilon0012=0. Também considere a delta de Kronecker em 4-dimensões de tal que suas componentes são 1 para alpha=beta e 0 para alpha neq beta. Verificar as seguentes identidades,
.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo o tensor de Levi–Civita em 4d Minkowski e a delta de Kronecker:
Queremos mostrar que
epsilonmu nu rho sigma ;epsilon^mu nu alpha beta = -2l(de
Para isso vamos usar a antissimetria do epsilon e contar contribuições não nulas na soma.

Passo 2

Como epsilonmunurhosigma é totalmente antissimétrico, a soma sobre mu,nu só dá não-zero se o par mu,nu for exatamente o conjunto dos dois índices que faltam completar 0,1,2,3 ao lado de rho,sigma. Mas o segundo epsilon^munualphabeta também exige que mu,nu=alpha,beta. Logo a única chance de não zerar é quando rho,sigma=alpha,beta.

Passo 3

Caso rho=alpha e sigma=beta:
Os índices mu,nu devem ser os dois índices que faltam em 0,1,2,3, digamos a,b. Eles podem aparecer em duas ordens: (mu,nu)=(a,b) ou (b,a).
Em cada ordem temos
epsilonabrhosigma,epsilon^abalphabeta = epsilonabalphabeta,epsilon^abalphabeta = -l(epsilonabalphabetar)^2 = -1,
pois ao subir índices troca-se o sinal. Somando as duas ordens dá total -2.

Passo 4

Caso rho=beta e sigma=alpha:
O raciocínio é o mesmo, mas a permutação extra entre alpha e beta inverte o sinal de um dos dois termos, resultando em soma +2.

Passo 5

Juntando os dois casos podemos escrever a resposta em termos de deltas, que “ligam” rho a alpha e sigma a beta com sinal -2, ou trocam alpha e beta com sinal oposto. Isso reproduz exatamente
epsilonmu nu rho sigma epsilon^mu nu alpha beta = -2l(de

Resposta

A identidade está verificada:
epsilonmu nu rho sigma epsilon^mu nu alpha beta = -2l(de

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