Um intervalo da reta só admite a cisão trivial (Teorema 5). Use esse resultado para mostrar que os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados são emptyset e R.

Passo 1

No enunciado, queremos mostrar que os únicos subconjuntos de R que são ao mesmo tempo abertos e fechados são emptyset e R. Para isso, vamos usar o Teorema 5, que diz que a reta (intervalo) só admite cisão trivial.

Passo 2

Suponha que A é um subconjunto de R que é tanto aberto quanto fechado. Como A é fechado, seu complementar C = Rsetminus A é aberto.

Passo 3

Observamos que A cup C = R e A cap C = emptyset, ou seja, A e C formam uma cisão da reta em dois conjuntos abertos.

Passo 4

Pelo Teorema 5, essa cisão só pode ser trivial. Logo, ou A = emptyset ou C = emptyset. Se C = emptyset, então A = R.

Passo 5

Portanto, concluímos que os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados são emptyset e R.

Resposta

Os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados são emptyset e R.

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