Um intervalo da reta só admite a cisão trivial (Teorema 5). Use esse resultado para mostrar que os únicos subconjuntos de
que são simultaneamente abertos e fechados são
e
.
Passo 1
No enunciado, queremos mostrar que os únicos subconjuntos de
que são ao mesmo tempo abertos e fechados são
e
. Para isso, vamos usar o Teorema 5, que diz que a reta (intervalo) só admite cisão trivial.
Passo 2
Suponha que
é um subconjunto de
que é tanto aberto quanto fechado. Como
é fechado, seu complementar
é aberto.
Passo 3
Observamos que
e
, ou seja,
e
formam uma cisão da reta em dois conjuntos abertos.
Passo 4
Pelo Teorema 5, essa cisão só pode ser trivial. Logo, ou
ou
. Se
, então
.
Passo 5
Portanto, concluímos que os únicos subconjuntos de
que são simultaneamente abertos e fechados são
e
.
Resposta
Os únicos subconjuntos de
que são simultaneamente abertos e fechados são
e
.