Mostre que se A1, A2, ldots, An são abertos, então A1 cap A2 cap ldots cap An é aberto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se os conjuntos A1,dots,An são abertos em um espaço métrico, então a interseção capi=1^n Ai também é aberta. Pra isso, a gente vai usar a definição de aberto: dado um conjunto U, ele é aberto se, para cada ponto xin U, existe uma bola (aberta) centrada em x que fique inteiramente dentro de U.

Passo 2

Agora, pegue um ponto xincapi=1^n Ai. Como cada Ai é aberto, existe um raio ri>0 tal que B(x,ri)subset Ai. Aí basta definir r=minr1,dots,rn, que é estritamente positivo, e observar que B(x,r)subset B(x,ri)subset Ai para todo i. Logo, essa bola toda está em capi=1^n Ai, mostrando que a interseção é aberta.

Resposta

Portanto, capi=1^n Ai é aberto.

Exercícios relacionados