Mostre que se
são abertos, então
é aberto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se os conjuntos
são abertos em um espaço métrico, então a interseção
também é aberta. Pra isso, a gente vai usar a definição de aberto: dado um conjunto
, ele é aberto se, para cada ponto
, existe uma bola (aberta) centrada em
que fique inteiramente dentro de
.
Passo 2
Agora, pegue um ponto
. Como cada
é aberto, existe um raio
tal que
. Aí basta definir
, que é estritamente positivo, e observar que
para todo
. Logo, essa bola toda está em
, mostrando que a interseção é aberta.
Resposta
Portanto,
é aberto.