Mostre que:
int (R-Q)=emptyset e conclua que R-Q não é aberto.

Passo 1

A questão quer mostrar que o conjunto dos irracionais em ,(\mathbb{R}-\mathbb{Q}), não possui nenhum ponto interior, isto é, int(R-Q)=emptyset, e com isso concluir que R-Q não é aberto. Vamos usar definições de topologia em R e o fato de que os racionais são densos em R.

Passo 2

Definindo interior: um ponto x pertence a int(A) se existe varepsilon>0 tal que a bola aberta B(x,varepsilon)subset A. No caso de R com a métrica usual, B(x,varepsilon)=(x-varepsilon,x+varepsilon).

Passo 3

Seja xinR-Q, ou seja, x é irracional. Tome qualquer varepsilon>0. Como Q é denso em R, existe um racional q tal que
x-varepsilon

Passo 4

Isso mostra que em qualquer bola B(x,varepsilon) há pelo menos um racional q, logo B(x,varepsilon) não está contida em R-Q. Portanto x não pode ser ponto interior de R-Q.

Passo 5

Como isso vale para todo xinR-Q, concluímos que não há pontos interiores e, portanto,
int(R-Q)=emptyset

Passo 6

Um conjunto aberto não-vazio tem interior não-vazio. Aqui R-Q não é vazio, mas seu interior é vazio, daí segue que R-Q não é aberto.

Resposta

int(R-Q)=emptyset e, consequentemente, R-Q não é aberto.

Exercícios relacionados