Mostre que:
int
e conclua que
não é aberto.
int
Passo 1
A questão quer mostrar que o conjunto dos irracionais em ,(\mathbb{R}-\mathbb{Q}), não possui nenhum ponto interior, isto é,
, e com isso concluir que
não é aberto. Vamos usar definições de topologia em
e o fato de que os racionais são densos em
.
Passo 2
Definindo interior: um ponto
pertence a
se existe
tal que a bola aberta
. No caso de
com a métrica usual,
.
Passo 3
Seja
, ou seja,
é irracional. Tome qualquer
. Como
é denso em
, existe um racional
tal que
Passo 4
Isso mostra que em qualquer bola
há pelo menos um racional
, logo
não está contida em
. Portanto
não pode ser ponto interior de
.
Passo 5
Como isso vale para todo
, concluímos que não há pontos interiores e, portanto,
Passo 6
Um conjunto aberto não-vazio tem interior não-vazio. Aqui
não é vazio, mas seu interior é vazio, daí segue que
não é aberto.