Qual o intervalo de \theta para desenhar uma pétala de r=\cos (3 \theta) ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o intervalo de \theta para desenhar uma pétala de r=\cos(3\theta)?”
Informações dadas:
  • A curva está em coordenadas polares e a equação é r=\cos(3\theta).
  • Quer-se o intervalo de \theta que gera uma única pétala (ou seja, o trecho de \theta que produz um ramo isolado da rosa).

Passo 2

Ideia chave (motivação didática): uma pétala começa e termina onde r=0 (porque o raio passa por zero e muda de sinal) — essas são as fronteiras naturais das pétalas — e no interior desse intervalo r tem sinal constante (a pétala aparece quando r\ge0, para evitar desenhar pela direção oposta com r<0). Portanto começamos encontrando os \theta tais que r=0.

Passo 3

Resolver a equação r=0:
\cos(3\theta)=0.
As soluções de \cos x=0 são x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi, com n\in\mathbb{Z}. Substituindo x=3\theta obtemos
3\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.
Esses valores de \theta são os pontos onde o raio zera — ou seja, as fronteiras entre pétalas consecutivas.

Passo 4

Determinar onde r é positivo (para uma pétala “direta”): queremos os intervalos entre duas raízes consecutivas onde \cos(3\theta)>0. A função \cos é positiva quando seu argumento está em \left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi m,\; \tfrac{\pi}{2}+2\pi m\right). Fazendo 3\theta igual a esse intervalo, obtemos
-\frac{\pi}{2}+2\pi m < 3\theta < \frac{\pi}{2}+2\pi m
\Rightarrow\quad -\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi m}{3} < \theta < \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi m}{3},\quad m\in\mathbb{Z}.
Cada intervalo acima tem comprimento \dfrac{\pi}{3} e corresponde a uma pétala onde r>0.

Passo 5

Escolhendo uma pétala específica e interpretando: para m=0 obtemos o intervalo central
-\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{6}.
Nesse intervalo r=\cos(3\theta) varia de 0 (em \theta=-\tfrac{\pi}{6}) até 1 (em \theta=0) e volta a 0 (em \theta=\tfrac{\pi}{6}), descrevendo exatamente uma pétala centrada ao longo do eixo polar \theta=0. Portanto esse intervalo desenha uma pétala inteira sem recorrer a r<0. As outras pétalas aparecem pelos deslocamentos \pm \tfrac{2\pi}{3}, etc., conforme a fórmula do passo anterior.

Resposta

\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}\right]
Geralmente, as pétalas ocorrem em \displaystyle \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi m}{3},\;\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi m}{3}\right], m\in\mathbb{Z}.

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