Calcule \frac{d r}{d \theta} para r=3 \theta.

Passo 1

O enunciado dá a função r em função de \theta:
r(\theta)=3\theta.
O que se pede: calcular \dfrac{dr}{d\theta}, ou seja, a derivada de r em relação a \theta.

Passo 2

Lembrete rápido do que é derivada: \dfrac{dr}{d\theta} é a taxa de variação instantânea de r quando \theta muda. Formalmente, usando a definição por limite,
\frac{dr}{d\theta}(\theta)=\lim_{h\to 0}\frac{r(\theta+h)-r(\theta)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em \theta. Vou usar essa definição passo a passo.

Passo 3

Aplicando a definição à função r(\theta)=3\theta:
r(\theta+h)=3(\theta+h)=3\theta+3h,
portanto o quociente diferencial fica
\frac{r(\theta+h)-r(\theta)}{h}=\frac{(3\theta+3h)-3\theta}{h}=\frac{3h}{h}=3.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
\frac{dr}{d\theta}(\theta)=\lim_{h\to 0}3=3.

Passo 4

Outra forma, mais direta (regra básica de derivação): a derivada de uma função linear r(\theta)=a\theta é a constante a. Isso vem das propriedades da derivada (linearidade) e do fato de que \dfrac{d\theta}{d\theta}=1. No nosso caso a=3, então
\frac{dr}{d\theta}=3\cdot\frac{d\theta}{d\theta}=3\cdot 1=3.

Passo 5

Interpretação prática e dica para prova: como \dfrac{dr}{d\theta} é constante igual a 3, isso significa que para cada aumento unitário em \theta a variável r aumenta exatamente 3. Em exercícios similares, basta reconhecer termos lineares e aplicar a regra acima — isso economiza tempo.

Resposta

\dfrac{dr}{d\theta}=3

Exercícios relacionados