\ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{n}}{n\,2^{n}}
e a tarefa é mostrar que essa identidade é verdadeira e determinar para quais valores de x ela vale (ou seja, achar o raio/intervalo de convergência da série).\n
As informações relevantes que já temos explicitamente: a função \ln x (definida para x>0) e a série em potências de (x-2) centrada em x=2.
Passo 2
Idea básica: derivando a identidade procuraríamos 1/x; portanto uma boa forma de obter a série para \ln x é escrever 1/x como uma série de potências em (x-2) (uma série geométrica modificada) e depois integrar termo a termo de 2 até x.\n
Começamos escrevendo
Explicação do porquê isso é permitido: a expansão geométrica é válida quando \left|\dfrac{x-2}{2}\right|<1, isto é, quando |x-2|<2. No interior desse intervalo a série converge absolutamente, então podemos integrar termo a termo.\n
Integramos ambos os lados em relação a t de t=2 até t=x:
No lado esquerdo temos \int_{2}^{x}\dfrac{1}{t}\,dt=\ln x-\ln 2. No lado direito podemos trocar soma e integral (convergência uniforme em qualquer fechado contido em |x-2|<2), obtendo
válida sempre que \left|\dfrac{x-2}{2}\right|<1, ou seja, para |x-2|<2.\n
Isso nos diz que o raio de convergência é R=2 (série centrada em 2). O intervalo aberto correspondente é (0,4). Agora precisamos verificar os pontos finais x=4 e x=0 separadamente, porque a condição |x-2|<2 não decide a convergência nesses pontos.
Passo 5
Verificação dos extremos:\n
Em x=4: temos \dfrac{x-2}{2}=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n},
que é a série harmônica alternada (serie de Leibniz) e converge (condicionalmente) para \ln 2. Portanto no x=4 a identidade dá
que diverge (harmônica). Além disso \ln x não está definido em x\le 0, então x=0 já é fora do domínio de \ln x.\n
Portanto a série converge absolutamente para 0<x<4, converge condicionalmente em x=4, e diverge em x=0 (além de x\le0 ser fora do domínio de \ln).
Resposta
A identidade é verdadeira para |x-2|<2 (ou seja, para 0<x<4).\n
A série converge também em x=4 (convergência condicional) e diverge em x=0. Portanto a representação vale para 0<x\le 4 (com convergência absoluta em 0<x<4 e condicional em x=4).