\ln x=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n-1}(x-2){n}}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{n}}{n\,2^{n}}
e a tarefa é mostrar que essa identidade é verdadeira e determinar para quais valores de x ela vale (ou seja, achar o raio/intervalo de convergência da série).\n
As informações relevantes que já temos explicitamente: a função \ln x (definida para x>0) e a série em potências de (x-2) centrada em x=2.

Passo 2

Idea básica: derivando a identidade procuraríamos 1/x; portanto uma boa forma de obter a série para \ln x é escrever 1/x como uma série de potências em (x-2) (uma série geométrica modificada) e depois integrar termo a termo de 2 até x.\n
Começamos escrevendo
\frac{1}{x}=\frac{1}{2+(x-2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x-2}{2}}.
Agora note que podemos ver \dfrac{1}{1+\dfrac{x-2}{2}} como uma série geométrica em -\dfrac{x-2}{2}. Lembrete: a fórmula da série geométrica é
\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty} y^{n},
válida para |y|<1. Substituindo y=-\dfrac{x-2}{2} obtemos, para \left|\dfrac{x-2}{2}\right|<1,
\frac{1}{1+\dfrac{x-2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x-2}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-2)^{n}}{2^{n}}.

Passo 3

Multiplicando por 1/2 (do passo anterior) obtemos a série para 1/x:
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-2)^{n}}{2^{\,n+1}},\qquad\text{para }\left|\frac{x-2}{2}\right|<1.
Explicação do porquê isso é permitido: a expansão geométrica é válida quando \left|\dfrac{x-2}{2}\right|<1, isto é, quando |x-2|<2. No interior desse intervalo a série converge absolutamente, então podemos integrar termo a termo.\n
Integramos ambos os lados em relação a t de t=2 até t=x:
\int_{2}^{x}\frac{1}{t}\,dt=\int_{2}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(t-2)^{n}}{2^{\,n+1}}\,dt.
No lado esquerdo temos \int_{2}^{x}\dfrac{1}{t}\,dt=\ln x-\ln 2. No lado direito podemos trocar soma e integral (convergência uniforme em qualquer fechado contido em |x-2|<2), obtendo
\ln x-\ln 2=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{\,n+1}}\int_{2}^{x}(t-2)^{n}\,dt.
Calcule a integral simples:
\int_{2}^{x}(t-2)^{n}\,dt=\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}.
Logo
\ln x-\ln 2=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Agora reindexamos a soma para obter a forma pedida. Coloque m=n+1. Quando n=0 temos m=1, e n=\infty m=\infty. Substituindo:
\ln x-\ln 2=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{(x-2)^{m}}{m\,2^{m}}.
Somando \ln 2 em ambos os lados obtemos exatamente a identidade fornecida:
\ln x=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{n}}{n\,2^{n}},
válida sempre que \left|\dfrac{x-2}{2}\right|<1, ou seja, para |x-2|<2.\n
Isso nos diz que o raio de convergência é R=2 (série centrada em 2). O intervalo aberto correspondente é (0,4). Agora precisamos verificar os pontos finais x=4 e x=0 separadamente, porque a condição |x-2|<2 não decide a convergência nesses pontos.

Passo 5

Verificação dos extremos:\n
  • Em x=4: temos \dfrac{x-2}{2}=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n},
que é a série harmônica alternada (serie de Leibniz) e converge (condicionalmente) para \ln 2. Portanto no x=4 a identidade dá
\ln 4=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2+\ln 2,
o que é consistente e mostra que a série converge e a identidade vale em x=4.\n
  • Em x=0: temos \dfrac{x-2}{2}=-1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que diverge (harmônica). Além disso \ln x não está definido em x\le 0, então x=0 já é fora do domínio de \ln x.\n
Portanto a série converge absolutamente para 0<x<4, converge condicionalmente em x=4, e diverge em x=0 (além de x\le0 ser fora do domínio de \ln).

Resposta

A identidade é verdadeira para |x-2|<2 (ou seja, para 0<x<4).\n
A série converge também em x=4 (convergência condicional) e diverge em x=0. Portanto a representação vale para 0<x\le 4 (com convergência absoluta em 0<x<4 e condicional em x=4).

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