Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
A tarefa é determinar a solução geral
dessa equação. Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve a derivada primeira de
em relação a . - O termo à direita é
. - Queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui podemos simplificar o membro direito usando a identidade trigonométrica
. Assim
Portanto a equação padrão é
onde
e
.
Explicação didática: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. O objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa igualdade para todo
do domínio.
Passo 3
Usamos o método do fator integrante (integrating factor). O fator integrante
é definido por
Aqui
, então
A ideia por trás do fator integrante: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo na derivada do produto
, porque escolhemos
tal que
. Em fórmula,
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito fazemos uma substituição simples: seja
. Então
. Assim
Explicação da substituição: quando temos um produto
, a substituição
é natural porque
, isso transforma a integral em uma em
, muitas vezes mais simples.
Passo 6
Calculamos
por partes. Lembremos a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(na integral por partes) igual a
e
. Então
e
. Portanto
Voltando à variável
(lembre
), obtemos
Passo 7
Igualando os dois lados após a integração:
Dividindo por
obtemos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária.
Comentário didático final: a solução é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
. Você pode verificar rapidamente: para
temos
e
, que é o lado direito da equação original — perfeito!