Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
\frac{d y}{d x}+y \cos x=\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y\cos x=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
A tarefa é determinar a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve a derivada primeira de y em relação a x.
  • O termo à direita é \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
  • Queremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui podemos simplificar o membro direito usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}(2x)=2\sin x\cos x. Assim
\frac{dy}{dx}+y\cos x=\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=\sin x\cos x.
Portanto a equação padrão é
\frac{dy}{dx}+(\cos x)\,y=\sin x\cos x,
onde P(x)=\cos x e Q(x)=\sin x\cos x.
Explicação didática: uma equação linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). O objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa igualdade para todo x do domínio.

Passo 3

Usamos o método do fator integrante (integrating factor). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\cos x, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \cos x\,dx\right)=\exp(\sin x)=e^{\sin x}.
A ideia por trás do fator integrante: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y, porque escolhemos \mu tal que \mu'=\mu P. Em fórmula,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=e^{\sin x}:
e^{\sin x}\frac{dy}{dx}+e^{\sin x}(\cos x)\,y=e^{\sin x}\sin x\cos x.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}y\big)=e^{\sin x}\sin x\cos x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}y\big)\,dx=\int e^{\sin x}\sin x\cos x\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{\sin x}y. No lado direito fazemos uma substituição simples: seja u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. Assim
\int e^{\sin x}\sin x\cos x\,dx=\int e^{u}u\,du.
Explicação da substituição: quando temos um produto f(\sin x)\cos x\,dx, a substituição u=\sin x é natural porque du=\cos x\,dx, isso transforma a integral em uma em u, muitas vezes mais simples.

Passo 6

Calculamos \displaystyle\int u e^{u}\,du por partes. Lembremos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u (na integral por partes) igual a u e dv=e^{u}du. Então du=du e v=e^{u}. Portanto
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u}+C.
Voltando à variável x (lembre u=\sin x), obtemos
\int e^{\sin x}\sin x\cos x\,dx=(\sin x -1)e^{\sin x}+C.

Passo 7

Igualando os dois lados após a integração:
e^{\sin x}y=(\sin x -1)e^{\sin x}+C.
Dividindo por e^{\sin x} obtemos a solução geral:
y=\sin x -1 + C e^{-\sin x},
onde C é uma constante arbitrária.
Comentário didático final: a solução é a soma de uma solução particular y_p=\sin x-1 e da solução geral da homogênea y_h=C e^{-\sin x}. Você pode verificar rapidamente: para y_p temos y_p'=\cos x e y_p'+y_p\cos x=\cos x+(\sin x-1)\cos x=\sin x\cos x, que é o lado direito da equação original — perfeito!

Resposta

y(x)=\sin x-1+C\,e^{-\sin x}

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