(3 pts) A temperatura numa placa é dada por
f(x, y)=x^2 y+3 x^2
(i) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto (2,-1) na direção s=(i+j) / raiz2 ? Nessa direção a temperatura aumenta ou diminui?
(ii) Estando no ponto (2,-1), indique em qual direção a temperatura cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de aquecimento.
(iii) Sabendo que essas coordenadas foram medidas com erros x pm de<ax= 2 pm 0.2 e y pm de<ay=-1 pm 0.1, encontre a temperatura nesse ponto e estime seu erro.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da placa por
f(x,y)=x^2y+3x^2
e pede em (i) a taxa de variação direcional em (2,-1) na direção vec s=(vec i+vec j)/raiz2, em (ii) a direção de maior crescimento e essa taxa, e em (iii) o valor de f(2,-1) e a estimativa de erro dado de<ax=0,2 e de<ay=0,1.
Para (i) e (ii) vamos usar o gradiente e derivada direcional; para (iii) usamos a aproximação linear (diferencial).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) =l(fx,fyr) =l(2xy+6x,;x^2r)
No ponto (2,-1) isso vale
nabla f(2,-1) =(2cdot2cdot(-1)+6cdot2,;2^2) =(8,;4)

Passo 3

(i) A derivada direcional de f em vec s=(vec i+vec j)/raiz2 é
Dvec sf(2,-1) =nabla f(2,-1)cdotvec s =(8,4)cdot(1,1)raiz2 =8+4raiz2 =12raiz2 =6raiz2
Como 6raiz2>0, a temperatura aumenta nessa direção.

Passo 4

(ii) A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente em (2,-1), que é (8,4). O vetor unitário correspondente é
(8,4)|(8,4)| =(8,4)raiz8^2+4^2 =(8,4)4raiz5 =(2,1)raiz5
A taxa máxima de aquecimento é o módulo do gradiente:
|nabla f(2,-1)| =raiz8^2+4^2 =4raiz5

Passo 5

(iii) Avaliando f em (2,-1):
f(2,-1)=2^2cdot(-1)+3cdot2^2 =-4+12=8
Para estimar o erro usamos
de<a f approx l|fx(2,-1)r|;de<ax + l|fy(2,-1)r|;de<ay =8cdot0,2+4cdot0,1 =1,6+0,4 =2

Resposta

(i) Dvec sf(2,-1)=6raiz2, e a temperatura aumenta.
(ii) direção de maior crescimento (2,1)raiz5, taxa máxima 4raiz5.
(iii) f(2,-1)=8pm2.

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