(i) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto na direção ? Nessa direção a temperatura aumenta ou diminui?
(ii) Estando no ponto , indique em qual direção a temperatura cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de aquecimento.
(iii) Sabendo que essas coordenadas foram medidas com erros e , encontre a temperatura nesse ponto e estime seu erro.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da placa por
e pede em (i) a taxa de variação direcional em na direção , em (ii) a direção de maior crescimento e essa taxa, e em (iii) o valor de e a estimativa de erro dado e .
Para (i) e (ii) vamos usar o gradiente e derivada direcional; para (iii) usamos a aproximação linear (diferencial).
Passo 2
Calculamos o gradiente de :
No ponto isso vale
Passo 3
(i) A derivada direcional de em é
Como , a temperatura aumenta nessa direção.
Passo 4
(ii) A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente em , que é . O vetor unitário correspondente é
A taxa máxima de aquecimento é o módulo do gradiente:
Passo 5
(iii) Avaliando em :
Para estimar o erro usamos
Resposta
(i) Dvec sf(2,-1)=6raiz2, e a temperatura aumenta.
(ii) direção de maior crescimento (2,1)raiz5, taxa máxima 4raiz5.
(iii) f(2,-1)=8pm2.