Calcule os limites:
(x) lim theta pi2^+(1pi2-theta-1cos theta)

Passo 1

O enunciado pede
limthetatopi2^+l(1pi2-theta-1costhetar)
Este é um caso de forma indeterminada “ infty-infty”, pois ambas as parcelas divergem quando thetatopi2^+. Para resolver, vamos fazer uma mudança de variável e usar expansão em série de Taylor.

Passo 2

Defina de<a = theta - tfracpi2.
Então, quando thetatotfracpi2^+, tem-se de<ato0^+. Além disso
pi2-theta = -de<a, costheta = cosl(tfracpi2+de<ar) = -sinde<a

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de de<a:
1pi2-theta-1costheta = 1-,de<a-1-,sinde<a = -1de<a+1sinde<a = 1sinde<a-1de<a

Passo 4

Para de<a pequeno, use a expansão
sinde<a = de<a - de<a^36 + o(de<a^3)
Assim
1sinde<a = 1de<a,11 - de<a^26 + o(de<a^2) = 1de<al(1 + de<a^26 + o(de<a^2)r)
Logo,
1sinde<a-1de<a = 1de<al(1 + de<a^26 + o(de<a^2)r) - 1de<a = de<a6 + o(de<a),
que tende a zero quando de<ato0.

Passo 5

Como o limite em função de de<a vai a zero, concluímos que
limthetatopi2^+l(1pi2-theta-1costhetar) = 0

Resposta

0

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