Suponha que a demanda de produção seja modelada pela função não linear:
D(t)=e^0.05 t+sin (t)
A empresa deseja prever a demanda para os próximos dias, começando a partir do tempo t0=10 dias, utilizando uma aproximação com séries de Taylor em torno de t0.
a) Calcule a série de Taylor de D(t) em torno de t0=10 até a terceira ordem.

Passo 1

O exercício pede aproximar a função de demanda D(t)=e^0.05t+sin(t) em torno de t0=10 dias usando série de Taylor até a terceira ordem. Vamos usar a expansão de Taylor em torno de t0:

Passo 2

A primeira etapa é escrever a fórmula geral da série de Taylor de ordem 3 em torno de t0:
D(t)approx D(t0)+D'(t0)(t-t0)+D''(t0)2!(t-t0)^2+D'''(t0)3!(t-t0)^3

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas sucessivas de D(t):
D'(t)=0.05,e^0.05t+cos(t),
D''(t)=0.0025,e^0.05t-sin(t),
D'''(t)=0.000125,e^0.05t-cos(t)

Passo 4

Em seguida, avaliamos D e suas derivadas em t0=10:
D(10)=e^0.5+sin(10),
D'(10)=0.05,e^0.5+cos(10),
D''(10)=0.0025,e^0.5-sin(10),
D'''(10)=0.000125,e^0.5-cos(10)

Passo 5

Por fim, substituímos esses valores na fórmula de Taylor até a terceira ordem para obter o polinômio de aproximação:

Resposta

D(t)approx e^0.5+sin(10)+l(0.05,e^0.5+cos(10)r)(t-10)+0.0025,e^0.5-sin(10)2(t-10)^2+0.000125,e^0.5-cos(10)6(t-10)^3

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